Determine as integrais:
integral raiz[3]3 x^3+7 cdot x^2 d x

Passo 1

Vamos recapitular: queremos calcular integral raiz[3]3x^3+7,x^2,dx. O conteúdo é técnica de substituição e precisamos identificar uma parte cuja derivada apareça no integrando.

Passo 2

Observamos que a expressão dentro da raiz cúbica é 3x^3+7. Definimos então u = 3x^3+7. Derivando ambos os lados, temos du = 9x^2,dx, ou seja, x^2,dx = du9.

Passo 3

Substituindo na integral original, ela se transforma em
19integral u^1/3,du
Isso simplifica a integral para 19integral u^1/3,du.

Passo 4

Agora calculamos a primitiva de u^1/3. Sabemos que
integral u^1/3,du = u^4/34/3 = 3u^4/34
Logo,
19integral u^1/3,du = 19cdot3u^4/34 + C = u^4/312 + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável x substituindo u = 3x^3+7, obtendo a forma final da primitiva.

Resposta

(3x^3+7)^4/312 + C

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