Determine se as integrais com integrandos descontínuos convergem ou divergem. Em caso de convergência, exiba seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a integral
converge ou diverge. Isso está relacionado ao cálculo de integrais impróprias, especialmente quando o integrando tem pontos de descontinuidade no intervalo de integração. Vamos precisar entender como lidar com essas descontinuidades para ver se conseguimos encontrar um valor para a integral ou se ela não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função
é descontínua no intervalo de
. Sabemos que
tem uma descontinuidade em
, porque não podemos dividir por zero. Então, nosso intervalo
inclui esse ponto de descontinuidade.
Passo 3
Como a função é descontínua em
, precisamos dividir a integral em duas partes: de
a
e de
a
. Assim, reescrevemos a integral como:
Essas são integrais impróprias porque envolvem limites infinitos.
Passo 4
Vamos calcular cada parte separadamente, usando limites. Para a primeira parte, de
a
:
A antiderivada de
é
, então:
Como
e
tende a
quando
se aproxima de
pela esquerda, essa parte da integral diverge para
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda parte, de
a
:
Novamente, a antiderivada é
, então:
Aqui,
tende a
quando
se aproxima de
pela direita, então essa parte da integral tende a
.
Passo 6
Como uma parte da integral tende a
e a outra a
, a integral total não tem um valor definido. Isso significa que a integral
não converge.
Resposta
A integral
diverge.