Determine se as integrais com integrandos descontínuos convergem ou divergem. Em caso de convergência, exiba seu valor.
integral-1^2 1x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a integral integral-1^2 1x dx converge ou diverge. Isso está relacionado ao cálculo de integrais impróprias, especialmente quando o integrando tem pontos de descontinuidade no intervalo de integração. Vamos precisar entender como lidar com essas descontinuidades para ver se conseguimos encontrar um valor para a integral ou se ela não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função 1x é descontínua no intervalo de [-1, 2]. Sabemos que 1x tem uma descontinuidade em x = 0, porque não podemos dividir por zero. Então, nosso intervalo [-1, 2] inclui esse ponto de descontinuidade.

Passo 3

Como a função é descontínua em x = 0, precisamos dividir a integral em duas partes: de -1 a 0 e de 0 a 2. Assim, reescrevemos a integral como:
integral-1^2 1x dx = integral-1^0 1x dx + integral0^2 1x dx
Essas são integrais impróprias porque envolvem limites infinitos.

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente, usando limites. Para a primeira parte, de -1 a 0:
lima to 0^- integral-1^a 1x dx
A antiderivada de 1x é ln|x|, então:
lima to 0^- [ ln|a| - ln|-1| ] = lima to 0^- ln|a| - ln(1)
Como ln(1) = 0 e ln|a| tende a -infty quando a se aproxima de 0 pela esquerda, essa parte da integral diverge para -infty.

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda parte, de 0 a 2:
limb to 0^+ integralb^2 1x dx
Novamente, a antiderivada é ln|x|, então:
limb to 0^+ [ ln(2) - ln(b) ]
Aqui, ln(b) tende a -infty quando b se aproxima de 0 pela direita, então essa parte da integral tende a +infty.

Passo 6

Como uma parte da integral tende a -infty e a outra a +infty, a integral total não tem um valor definido. Isso significa que a integral integral-1^2 1x dx não converge.

Resposta

A integral integral-1^2 1x dx diverge.

Exercícios relacionados