Determine se as integrais com integrandos descontínuos convergem ou divergem. Em caso de convergência, exiba seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a integral
converge ou diverge quando o integrando tem uma descontinuidade. A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, mais especificamente o estudo de integrais impróprias. Vamos precisar entender como lidar com integrais que têm pontos de descontinuidade no intervalo de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde está a descontinuidade na integral. Olhando para , percebemos que o denominador se torna zero quando , o que causa uma descontinuidade nesse ponto. Então, nosso intervalo de tem uma descontinuidade em .
Passo 3
Para lidar com essa descontinuidade, vamos dividir a integral em duas partes: uma de até e outra de até . Assim, temos:
Passo 4
Vamos analisar a primeira parte: quando .
Sabemos que está sempre entre e . Então, o valor absoluto do integrando é:
A integral de 1x^2 de -1 a 0 já sabemos que diverge, porque:
integral-1^0 1x^2 , dx = infty
Então, pela comparação, nossa integral original também diverge nessa parte.
Passo 5
Agora, vamos ver a segunda parte: integralde quando de.