Determine se as integrais com integrandos descontínuos convergem ou divergem. Em caso de convergência, exiba seu valor.
integral-1^2 1x^2 cos 1x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a integral
integral-1^2 1x^2 cos 1x , dx
converge ou diverge quando o integrando tem uma descontinuidade. A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, mais especificamente o estudo de integrais impróprias. Vamos precisar entender como lidar com integrais que têm pontos de descontinuidade no intervalo de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde está a descontinuidade na integral. Olhando para 1x^2 cos 1x, percebemos que o denominador x^2 se torna zero quando x = 0, o que causa uma descontinuidade nesse ponto. Então, nosso intervalo de [-1, 2] tem uma descontinuidade em x = 0.

Passo 3

Para lidar com essa descontinuidade, vamos dividir a integral em duas partes: uma de -1 até 0 e outra de 0 até 2. Assim, temos:
integral-1^2 1x^2 cos 1x , dx = limepsilon to 0^- integral-1^epsilon 1x^2 cos 1x , dx + limde

Passo 4

Vamos analisar a primeira parte: integral-1^epsilon 1x^2 cos 1x , dx quando epsilon to 0^-.
Sabemos que cos 1x está sempre entre -1 e 1. Então, o valor absoluto do integrando é:
| 1x^2 cos 1x | <= 1x^2
A integral de 1x^2 de -1 a 0 já sabemos que diverge, porque:
integral-1^0 1x^2 , dx = infty
Então, pela comparação, nossa integral original também diverge nessa parte.

Passo 5

Agora, vamos ver a segunda parte: integralde quando de.
Novamente, temos:
| 1x^2 cos 1x | <= 1x^2
E a integral de 1x^2 de 0 a 2 também diverge:
integral0^2 1x^2 , dx = infty
Portanto, essa parte também não converge.

Resposta

A integral integral-1^2 1x^2 cos 1x , dx diverge.

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