Determine quais das integrais são divergentes:
Escolha uma ou mais:
integral-pi2^pi2 sec ^2 3 xtg 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para a gente analisar a integral impropria
integral-pi2^pi2 sec^2(3x)tan(3x),dx
do tipo “ponto de descontinuidade no interior do intervalo”. O tema é integrais impróprias e vamos precisar usar (1) a simplificação da função, (2) identificação dos pontos onde o denominador some, e (3) o teste de divergência próximo a cada singularidade.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o integrando:
sec^2(3x)tan(3x) = 1/cos^2(3x)sin(3x)/cos(3x) = 1sin(3x),cos(3x)

Passo 3

Em seguida, encontramos os pontos em que o integrando diverge. Como aparece tan(3x) no denominador, as raízes de tan(3x)=0 são
3x = kpi implies x = kpi3,
cominteiros k. No intervalo [-pi/2,pi/2] isso dá as singularidades em
x = -pi3,;0,;pi3

Passo 4

Perto de cada singularidade x0, o integrando se comporta como
1sin(3x)cos(3x) sim 13(x - x0)
porque, por exemplo, ao redor de x0=0, temos sin(3x)approx3x e cos(3x)approx1, o que gera um termo da forma 1/(x-0). E já sabemos que
integral0^varepsilon dxxouintegral-varepsilon^0 dxx
divergem (logaritmo infinito). O mesmo vale nas vizinhanças de x=pmpi/3.

Passo 5

Como há pelo menos uma dessas divergências internas, a integral não converge. Não adianta nem pensar em valor principal de Cauchy: no sentido usual de integral imprópria ela é divergente.

Resposta

A integral é divergente.

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