Determine quais das integrais são divergentes:
Escolha uma ou mais:
Escolha uma ou mais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos o seguinte exercício:
Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais impróprias, onde precisamos determinar se a integral converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito). Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função dentro do intervalo de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se há algum ponto no intervalo
onde a função pode ter problemas, como divisão por zero ou valores indefinidos. Olhando para o denominador
, ele estará definido apenas quando
.
Resolvendo a inequação:
Então, a função está definida para
e
. Isso significa que no intervalo
, temos dois pontos onde o denominador se aproxima de zero:
e
. Nessas pontas, a função pode tender ao infinito, o que caracteriza uma integração imprópria.
Passo 3
Agora, vamos dividir a integral em duas partes, separando pelos pontos problemáticos:
Note que estamos excluindo
e
, onde a função não está definida.
Passo 4
Vamos analisar a primeira parte da integral:
Aqui, à medida que
se aproxima de
pelo lado esquerdo, o denominador
tende a zero, fazendo com que a função tenda ao infinito. Para verificar a convergência, podemos usar o Critério de Comparação ou calcular o limite das integrais impróprias.
Passo 5
Vamos calcular o limite:
Se esse limite for finito, a integral converge nesse intervalo. Do mesmo jeito, faremos para a segunda parte:
Passo 6
Observando a simetria da função, vemos que
é uma função ímpar (
) e
é uma função par (
). Portanto, a função inteira $ \frac{x{3}}{\sqrt{4x{2}-9}} $ é ímpar.
Quando integramos uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno de zero, a integral resulta em zero se ambas as partes convergirem.
Passo 7
Realizando os cálculos dos limites (ou usando o comportamento das funções próximas aos pontos de descontinuidade), concluímos que as integrais impropriamente definidas convergem a zero.
Resposta
A integral é convergente e seu valor é igual a zero.