Determine quais das integrais são divergentes:
Escolha uma ou mais:
integral-3^3 x^3raiz4 x^2-9 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos o seguinte exercício:
integral-3^3 x^3raiz4 x^2-9 , dx
Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais impróprias, onde precisamos determinar se a integral converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito). Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função dentro do intervalo de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se há algum ponto no intervalo [-3, 3] onde a função pode ter problemas, como divisão por zero ou valores indefinidos. Olhando para o denominador raiz4x^2 - 9, ele estará definido apenas quando 4x^2 - 9 >= 0.
Resolvendo a inequação:
4x^2 - 9 >= 0 4x^2 >= 9 x^2 >= 94 |x| >= 32
Então, a função está definida para x <= -32 e x >= 32. Isso significa que no intervalo [-3, 3], temos dois pontos onde o denominador se aproxima de zero: x = -32 e x = 32. Nessas pontas, a função pode tender ao infinito, o que caracteriza uma integração imprópria.

Passo 3

Agora, vamos dividir a integral em duas partes, separando pelos pontos problemáticos:
integral-3^-1.5 x^3raiz4 x^2-9 , dx + integral1.5^3 x^3raiz4 x^2-9 , dx
Note que estamos excluindo x = -1.5 e x = 1.5, onde a função não está definida.

Passo 4

Vamos analisar a primeira parte da integral:
integral-3^-1.5 x^3raiz4 x^2-9 , dx
Aqui, à medida que x se aproxima de -1.5 pelo lado esquerdo, o denominador raiz4x^2 - 9 tende a zero, fazendo com que a função tenda ao infinito. Para verificar a convergência, podemos usar o Critério de Comparação ou calcular o limite das integrais impróprias.

Passo 5

Vamos calcular o limite:
limepsilon to 0^+ integral-3^-1.5 + epsilon x^3raiz4 x^2-9 , dx
Se esse limite for finito, a integral converge nesse intervalo. Do mesmo jeito, faremos para a segunda parte:
limepsilon to 0^+ integral1.5 - epsilon^3 x^3raiz4 x^2-9 , dx

Passo 6

Observando a simetria da função, vemos que x^3 é uma função ímpar ( f(-x) = -f(x)) e raiz4x^2 - 9 é uma função par ( f(-x) = f(x)). Portanto, a função inteira $ \frac{x{3}}{\sqrt{4x{2}-9}} $ é ímpar.
Quando integramos uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno de zero, a integral resulta em zero se ambas as partes convergirem.

Passo 7

Realizando os cálculos dos limites (ou usando o comportamento das funções próximas aos pontos de descontinuidade), concluímos que as integrais impropriamente definidas convergem a zero.

Resposta

A integral é convergente e seu valor é igual a zero.

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