Se y=cos raizx-sen raizx qual das afirmações a seguir é verdeira?
Escolha uma opção:
2 x y^prime prime-4 y^prime-y=0
2 x y^prime prime-2 y^prime+y=0
Nenhuma das demais alternativas
2 x y^prime prime+4 y^prime-y=0
4 x y^prime prime+2 y^prime+y=0
4 x y^prime prime+4 y^prime+y=0

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ y = \cos \sqrt{x} - \sin \sqrt{x} $ e queremos descobrir qual das equações diferenciais listadas é verdadeira para essa função. Isso envolve calcular as derivadas de $ y $ e substituir nas opções para ver qual delas se encaixa direitinho. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com derivadas de funções compostas e entender como elas se comportam em uma equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de $ y $, que é $ y’ $. Lembre-se que quando derivamos uma função composta, usamos a regra da cadeia.
Temos:
y
Derivando termo a termo:
y'

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, $ y’’ $. Vamos derivar $ y’ $:
y''
Usando a regra do quociente e a regra da cadeia para derivar:
y'
Simplificando:
y' = -sin (raizx) + cos (raizx)2raizx

Passo 4

Agora que temos $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $, vamos substituir esses valores em cada uma das opções para ver qual equação é satisfeita.
Vamos testar a segunda opção:
y
Substituindo:
y'
Simplificando:
y''
Tudo se cancela, então a equação é satisfeita.

Resposta

A segunda opção 2x y'' - 2y' + y = 0 é verdadeira.

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