Se
qual das afirmações a seguir é verdeira?
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ y = \cos \sqrt{x} - \sin \sqrt{x} $ e queremos descobrir qual das equações diferenciais listadas é verdadeira para essa função. Isso envolve calcular as derivadas de $ y $ e substituir nas opções para ver qual delas se encaixa direitinho. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com derivadas de funções compostas e entender como elas se comportam em uma equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de $ y $, que é $ y’ $. Lembre-se que quando derivamos uma função composta, usamos a regra da cadeia.
Temos:
Derivando termo a termo:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada, $ y’’ $. Vamos derivar $ y’ $:
Usando a regra do quociente e a regra da cadeia para derivar:
Simplificando:
Passo 4
Agora que temos $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $, vamos substituir esses valores em cada uma das opções para ver qual equação é satisfeita.
Vamos testar a segunda opção:
Substituindo:
Simplificando:
Tudo se cancela, então a equação é satisfeita.
Resposta
A segunda opção
é verdadeira.