DETERMINE SE AS INTEGRAIS SAOO CONVERGENTE
integral0^infty x e^-2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que você me enviou é determinar se a integral integral0^infty x e^-2x dx é convergente. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as integrais de funções que vão até o infinito e ver se elas têm um valor finito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma integral impropria. Quando temos uma integral que vai de algum ponto até o infinito, estamos lidando com uma integral imprópria porque o intervalo de integração é infinito. Para verificar a convergência, precisamos calcular o limite dessa integral quando o limite superior tende ao infinito.

Passo 3

Então, vamos reescrever a nossa integral de forma mais amigável para calcular o limite:
integral0^infty x e^-2x dx = limb to infty integral0^b x e^-2x dx
Agora, precisamos encontrar a antiderivada de x e^-2x.

Passo 4

Vamos usar a técnica de integração por partes, onde a gente escolhe uma parte para derivar e outra para integrar. Nesse caso, vamos deixar:
  • u = x du = dx
  • dv = e^-2x dx v = -12 e^-2x

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo:
integral x e^-2x dx = -12x e^-2x + 12 integral e^-2x dx

Passo 6

Agora, vamos integrar integral e^-2x dx:
integral e^-2x dx = -12 e^-2x + C
Então, substituindo de volta:
integral x e^-2x dx = -12x e^-2x - 14 e^-2x + C

Passo 7

Voltando à nossa integral original com o limite:
limb to infty [ -12b e^-2b - 14 e^-2b + 14 ]
Observamos que, quando b to infty, tanto b e^-2b quanto e^-2b tendem a zero, porque o termo exponencial decai mais rápido que qualquer polinômio cresce.

Passo 8

Portanto, o limite fica:
0 + 0 + 14 = 14

Resposta

A integral integral0^infty x e^-2x dx é convergente e seu valor é 14.

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