DETERMINE SE AS INTEGRAIS SAOO CONVERGENTE
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que você me enviou é determinar se a integral
é convergente. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as integrais de funções que vão até o infinito e ver se elas têm um valor finito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma integral impropria. Quando temos uma integral que vai de algum ponto até o infinito, estamos lidando com uma integral imprópria porque o intervalo de integração é infinito. Para verificar a convergência, precisamos calcular o limite dessa integral quando o limite superior tende ao infinito.
Passo 3
Então, vamos reescrever a nossa integral de forma mais amigável para calcular o limite:
Agora, precisamos encontrar a antiderivada de
.
Passo 4
Vamos usar a técnica de integração por partes, onde a gente escolhe uma parte para derivar e outra para integrar. Nesse caso, vamos deixar:
-
⇒ -
⇒
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo:
Passo 6
Agora, vamos integrar
:
Então, substituindo de volta:
Passo 7
Voltando à nossa integral original com o limite:
Observamos que, quando
, tanto
quanto
tendem a zero, porque o termo exponencial decai mais rápido que qualquer polinômio cresce.
Passo 8
Portanto, o limite fica:
Resposta
A integral
é convergente e seu valor é
.