Determine as integrais seguintes usando a técnica de integração por partes:
\int x \ln 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x \ln(2x)\,dx
usando a técnica de integração por partes. Para isso, vamos usar a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln(2x),\quad dv = x\,dx
porque a derivada de \ln(2x) simplifica bem. Assim,
du = \frac{1}{x}\,dx, \quad v = \int x\,dx = \frac{x^2}{2}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int x \ln(2x)\,dx = u\,v - \int v\,du = \frac{x^2}{2}\,\ln(2x) - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx.
No segundo termo, simplifica-se:
\int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{1}{2}\int x\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{4}.
Logo,
\int x \ln(2x)\,dx = \frac{x^2}{2}\,\ln(2x) - \frac{x^2}{4} + C.

Resposta

\int x \ln(2x)\,dx = \frac{x^2}{2}\,\ln(2x) - \frac{x^2}{4} + C.

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