Determine as integrais, usando a técnica de substituição:
\int \frac{5 t}{\sqrt{3 t^{2}+7}} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{5\,t}{\sqrt{3\,t^{2}+7}}\;dt
usando a técnica de substituição. Vamos explorar que dentro da raiz está a expressão 3t^2+7, cuja derivada envolve t\,dt.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 3\,t^{2} + 7.
Diferenciando ambos os lados,
du = 6\,t\,dt \quad\Longrightarrow\quad t\,dt = \frac{du}{6}.

Passo 3

Substituímos na integral original:
\int \frac{5\,t}{\sqrt{3\,t^{2}+7}}\;dt = \int \frac{5}{\sqrt{u}}\;\bigl(t\,dt\bigr) = \int \frac{5}{\sqrt{u}}\;\frac{du}{6} = \frac{5}{6}\,\int u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
\frac{5}{6}\,\int u^{-\tfrac12}\,du = \frac{5}{6}\;\cdot\;\frac{u^{\tfrac12}}{\tfrac12} = \frac{5}{6}\;\cdot\;2\,u^{\tfrac12} = \frac{5}{3}\,u^{\tfrac12}+C.

Passo 5

Voltando à variável t, substituímos u = 3t^2+7:
\frac{5}{3}\,u^{\tfrac12}+C = \frac{5}{3}\,\sqrt{3\,t^{2}+7}+C.

Resposta

\frac{5}{3}\,\sqrt{3\,t^{2}+7}+C

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