Determine se as integrais a seguir convergem ou divergem, e calcule o limite das que são convergentes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que é um tipo de integral imprópria. O enunciado pede para saber se ela converge ou diverge e, se convergir, calcular o limite. Para isso, vamos precisar saber sobre integrais impróprias e como calcular limites de integrais com limites infinitos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a integral:
Essa integral é imprópria porque um dos limites de integração é infinito (-∞). Então, para resolver, vamos reescrever a integral com um limite finito
que vai para -∞:
Passo 3
Agora, vamos integrar a função
. Fazendo uma substituição simples:
- Seja
, então .
A integral fica:
A antiderivada de
é:
Substituindo de volta
, temos:
Passo 4
Vamos agora avaliar a integral definida de
a
:
Simplificando:
Agora, vamos tirar o limite quando
tende a -∞:
Resposta
A integral converge e seu valor é
.