Determine se as integrais a seguir convergem ou divergem, e calcule o limite das que são convergentes.
integral-infty^0 1(x-1)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é um tipo de integral imprópria. O enunciado pede para saber se ela converge ou diverge e, se convergir, calcular o limite. Para isso, vamos precisar saber sobre integrais impróprias e como calcular limites de integrais com limites infinitos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a integral:
integral-infty^0 1(x-1)^3 , dx
Essa integral é imprópria porque um dos limites de integração é infinito (-∞). Então, para resolver, vamos reescrever a integral com um limite finito a que vai para -∞:
lima to -infty integrala^0 1(x-1)^3 , dx

Passo 3

Agora, vamos integrar a função 1(x-1)^3. Fazendo uma substituição simples:
  • Seja u = x - 1, então du = dx.
    A integral fica:
integral 1u^3 , du = integral u^-3 , du
A antiderivada de u^-3 é:
u^-2-2 + C = -12u^2 + C
Substituindo de volta u = x - 1, temos:
-12(x-1)^2 + C

Passo 4

Vamos agora avaliar a integral definida de a a 0:
[ -12(x-1)^2 ]a^0 = -12(0-1)^2 - ( -12(a-1)^2 )
Simplificando:
-12 + 12(a-1)^2
Agora, vamos tirar o limite quando a tende a -∞:
lima to -infty ( -12 + 12(a-1)^2 ) = -12 + 0 = -12

Resposta

A integral converge e seu valor é -12.

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