(Trajetórias de Vôo). Suponha que um avião parte do ponto
localizado a leste de seu ponto de destino-um aeroporto localizado na origem ( 0,0 ). Suponha que o avião viaja a uma velocidade constante
relativa ao vento, que sopra na direção norte com velocidade constante
. Assumindo que o piloto do avião o mantém direcionado sempre para a origem, mostre que a trajetória
que o avião faz deve satisfazer a equação diferencial
Conclua que
O que acontece se
ou
?
Conclua que
Passo 1
O enunciado descreve um avião que parte de (a,0) e vai para a origem (0,0), movendo-se com rapidez constante v₀ em relação ao ar, enquanto o vento sopra para o norte com rapidez w; o piloto direciona sempre o avião para a origem. Vamos usar movimento relativo e geometria diferencial para achar dy/dx e depois resolver a trajetória y(x).
Passo 2
Seja
a distância ao aeroporto. A velocidade do avião em relação ao solo é a soma da velocidade em relação ao ar (módulo
, apontando para a origem) e do vento
. Logo as componentes são
Passo 3
A razão
é
e como
, obtemos
Passo 4
Para resolver, faça
. Então
e a EDO vira
Separamos variáveis:
Integrando,
Passo 5
A condição inicial é
⇒
, então
Logo
Como
,
Passo 6
Analisando os casos:
w<v₀ ⇒ os expoentes 1±w/v₀ são positivos e o avião chega ao aeroporto seguindo essa curva;
w=v₀ ⇒ os expoentes são 0 e 2, dando y(x)=(a/2)[1−(x/a)²], uma parábola;
w>v₀ ⇒ o expoente 1−w/v₀ é negativo e y(x) diverge ao aproximar-se de x→0, mostrando que o vento é forte demais e o avião nunca alcança o destino.
w<v₀ ⇒ os expoentes 1±w/v₀ são positivos e o avião chega ao aeroporto seguindo essa curva;
w=v₀ ⇒ os expoentes são 0 e 2, dando y(x)=(a/2)[1−(x/a)²], uma parábola;
w>v₀ ⇒ o expoente 1−w/v₀ é negativo e y(x) diverge ao aproximar-se de x→0, mostrando que o vento é forte demais e o avião nunca alcança o destino.
Resposta
A trajetória é
Para w<v₀ o avião chega ao aeroporto seguindo essa curva; para w=v₀ a trajetória é a parábola y=(a/2)[1−(x/a)²]; e para w>v₀ o vento impede a chegada, pois a solução diverge perto de x→0.