(Trajetórias de Vôo). Suponha que um avião parte do ponto (a, 0) localizado a leste de seu ponto de destino-um aeroporto localizado na origem ( 0,0 ). Suponha que o avião viaja a uma velocidade constante v0 relativa ao vento, que sopra na direção norte com velocidade constante w. Assumindo que o piloto do avião o mantém direcionado sempre para a origem, mostre que a trajetória y=y(x) que o avião faz deve satisfazer a equação diferencial
d yd x=yx-wv0[1+(yx)^2]^1 / 2
Conclua que
y(x)=a2[(xa)^1-wv0-(xa)^1+wv0]
O que acontece se w ou w>v0 ?

Passo 1

O enunciado descreve um avião que parte de (a,0) e vai para a origem (0,0), movendo-se com rapidez constante v₀ em relação ao ar, enquanto o vento sopra para o norte com rapidez w; o piloto direciona sempre o avião para a origem. Vamos usar movimento relativo e geometria diferencial para achar dy/dx e depois resolver a trajetória y(x).

Passo 2

Seja r=raizx^2+y^2 a distância ao aeroporto. A velocidade do avião em relação ao solo é a soma da velocidade em relação ao ar (módulo v0, apontando para a origem) e do vento (0,w). Logo as componentes são
dot x=-v0xr,
dot y=-v0yr+w

Passo 3

A razão dy/dx=dot y/dot x é
dydx=-v0yr+w-v0xr=yx-wv0rx
e como r/x=raiz1+(y/x)^2, obtemos
dydx=yx-wv0raiz1+l(yxr)^2

Passo 4

Para resolver, faça u=y/x. Então
dydx=u+xdudx
e a EDO vira
u+xdudx=u-wv0raiz1+u^2 ; Longrightarrow; xdudx=-wv0raiz1+u^2
Separamos variáveis:
duraiz1+u^2=-wv0dxx
Integrando,
arsinh(u)=-wv0ln x+C

Passo 5

A condição inicial é y(a)=0 u(a)=0, então
0=arsinh(0)=-wv0ln a+C implies C=wv0ln a
Logo
u=sinhl(wv0(ln a-ln x)r)=12l(a^wv0x^-wv0-a^-wv0x^wv0r)
Como y=xu,
y(x)=a2l[l(xar)^1-wv0-l(xar)^1+wv0r]

Passo 6

Analisando os casos:
w<v₀ ⇒ os expoentes 1±w/v₀ são positivos e o avião chega ao aeroporto seguindo essa curva;
w=v₀ ⇒ os expoentes são 0 e 2, dando y(x)=(a/2)[1−(x/a)²], uma parábola;
w>v₀ ⇒ o expoente 1−w/v₀ é negativo e y(x) diverge ao aproximar-se de x→0, mostrando que o vento é forte demais e o avião nunca alcança o destino.

Resposta

A trajetória é
y(x)=a2l[l(xar)^1-wv0-l(xar)^1+wv0r]
Para w<v₀ o avião chega ao aeroporto seguindo essa curva; para w=v₀ a trajetória é a parábola y=(a/2)[1−(x/a)²]; e para w>v₀ o vento impede a chegada, pois a solução diverge perto de x→0.

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