Nos itens abaixo, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.
e) y^2=c x^3(Resp 2 x^2+3 y^2=c2)

Passo 1

O enunciado pede para achar as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por y^2 = c x^3. O conteúdo principal envolve diferenciação implícita para obter a equação diferencial da família original e depois usar a condição de ortogonalidade (produto dos declives = –1) para achar a nova equação diferencial a ser integrada.

Passo 2

Começamos encontrando a derivada da família original. Da equação y^2 = c x^3 isolamos c = y^2x^3. Diferenciando implicitamente temos:
2y,y' = 3c x^2

Passo 3

Substituindo c em termos de x e y:
2y,y' = 3y^2x^3,x^2 = 3y^2x

Passo 4

Logo o declive da família original é
y' = 3y^22y,x = 3y2x

Passo 5

Para as trajetórias ortogonais, o produto dos declives deve ser -1. Se chamarmos y'o o declive da ortogonal, então
y'o cdot 3y2x = -1 Rightarrow y'o = -2x3y

Passo 6

Agora resolvemos a equação diferencial separável
dydx = -2x3y

Passo 7

Separamos variáveis e integramos:
3y,dy = -2x,dx Rightarrow integral 3y,dy = integral -2x,dx

Passo 8

As integrais dão:
3y^22 = -2x^22 + K Rightarrow 3y^2 = -2x^2 + C2

Passo 9

Reorganizando, obtemos a família das ortogonais:
2x^2 + 3y^2 = C2

Resposta

2x^2 + 3y^2 = C_2

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