Nos itens abaixo, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.
e)
e)
Passo 1
O enunciado pede para achar as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por
. O conteúdo principal envolve diferenciação implícita para obter a equação diferencial da família original e depois usar a condição de ortogonalidade (produto dos declives = –1) para achar a nova equação diferencial a ser integrada.
Passo 2
Começamos encontrando a derivada da família original. Da equação
isolamos
. Diferenciando implicitamente temos:
Passo 3
Substituindo
em termos de
e
:
Passo 4
Logo o declive da família original é
Passo 5
Para as trajetórias ortogonais, o produto dos declives deve ser
. Se chamarmos
o declive da ortogonal, então
Passo 6
Agora resolvemos a equação diferencial separável
Passo 7
Separamos variáveis e integramos:
Passo 8
As integrais dão:
Passo 9
Reorganizando, obtemos a família das ortogonais:
Resposta
2x^2 + 3y^2 = C_2