Determine se as integrais a seguir convergem ou divergem, e calcule o limite das que são convergentes.
integral0^infty x1+x^2 d x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que determinar se a integral converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de integração imprópria e verificar a convergência da integral.

Passo 2

Primeiro, notamos que a integral tem um limite superior infinito ( ). Isso significa que precisamos tratar da integral como uma integração imprópria. Em outras palavras, vamos reescrever a integral com um limite finito e depois analisar o comportamento quando esse limite tende ao infinito.

Passo 3

Reescrevendo a integral como um limite, temos:
integral0^infty x1+x^2 , dx = limb to infty integral0^b x1+x^2 , dx
Agora, nosso objetivo é calcular a integral definida de a e depois ver o que acontece quando vai para o infinito.

Passo 4

Vamos encontrar a antiderivada de integral x1+x^2 , dx = 12 integral 1u , du = 12 ln|u| + C = 12 ln(1 + x^2) + C . Para isso, fazemos uma substituição simples. Seja , então ou seja, . Substituindo na integral:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos avaliar a integral definida de integral0^b x1+x^2 , dx = [ 12 ln(1 + x^2) ]0^b = 12 ln(1 + b^2) - 12 ln(1 + 0^2) = 12 ln(1 + b^2) a limb to infty 12 ln(1 + b^2) = 12 ln(infty) = infty :
Em seguida, aplicamos o limite quando tende ao infinito:
Isso significa que a integral cresce sem limite à medida que aumenta.

Resposta

A integral diverge, ou seja, não converge para um valor finito.

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