Determine se as integrais a seguir convergem ou divergem, e calcule o limite das que são convergentes.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que determinar se a integral
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de integração imprópria e verificar a convergência da integral.
Passo 2
Primeiro, notamos que a integral tem um limite superior infinito (
). Isso significa que precisamos tratar da integral como uma integração imprópria. Em outras palavras, vamos reescrever a integral com um limite finito e depois analisar o comportamento quando esse limite tende ao infinito.
Passo 3
Reescrevendo a integral como um limite, temos:
Agora, nosso objetivo é calcular a integral definida de
a
e depois ver o que acontece quando
vai para o infinito.
Passo 4
Vamos encontrar a antiderivada de
. Para isso, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
ou seja,
. Substituindo na integral:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos avaliar a integral definida de
a
:
Em seguida, aplicamos o limite quando
tende ao infinito:
Isso significa que a integral cresce sem limite à medida que
aumenta.
Resposta
A integral
diverge, ou seja, não converge para um valor finito.