Determine se as integrais a seguir convergem ou divergem, e calcule o limite das que são convergentes.
integral1^infty x(1+x^2)^2 d x

Passo 1

Vamos lá! Temos que analisar a integral . O que precisamos fazer aqui é determinar se essa integral converge (ou seja, se ela tem um valor finito) ou diverge (se não tem limite). Para resolver isso, vamos utilizar técnicas de cálculo de integrais impróprias e fazer uma substituição que simplifique a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a integral é imprópria porque o limite superior é infinito. Para lidar com isso, vamos fazer uma substituição que facilite o cálculo. Vamos escolher du = 2x , dx Rightarrow x , dx = du2 . Assim, derivando ambos os lados em relação a :

Passo 3

Agora, substituímos na integral original:
integral1^infty x(1+x^2)^2 dx = 12 integralu(1)^u(infty) 1u^2 du
Onde 12 integral2^infty 1u^2 du e . Então, a integral fica:

Passo 4

Calculando a integral:
12 integral2^infty u^-2 du = 12 [ -u^-1 ]2^infty
Agora, avaliamos os limites:
12 ( 0 - ( -12 ) ) = 12 ( 12 ) = 14

Resposta

A integral converge e seu valor é .

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