Determine se as integrais a seguir convergem ou divergem, e calcule o limite das que são convergentes.
Passo 1
Vamos lá! Temos que analisar a integral
. O que precisamos fazer aqui é determinar se essa integral converge (ou seja, se ela tem um valor finito) ou diverge (se não tem limite). Para resolver isso, vamos utilizar técnicas de cálculo de integrais impróprias e fazer uma substituição que simplifique a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a integral é imprópria porque o limite superior é infinito. Para lidar com isso, vamos fazer uma substituição que facilite o cálculo. Vamos escolher
. Assim, derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 3
Agora, substituímos na integral original:
Onde
e
. Então, a integral fica:
Passo 4
Calculando a integral:
Agora, avaliamos os limites:
Resposta
A integral
converge e seu valor é
.