Usando a substituição
, e sabendo que
, use Integração por Partes para integrar as seguintes funções inversas
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para integrarmos a função usando a técnica de Integração por Partes. Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo funções inversas e técnicas de integração. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como aplicar a integração por partes e usar a fórmula da derivada da função inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Integração por Partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
. Vamos escolher:
Isso porque derivar vai simplificar a expressão, e integrar
é fácil.
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
:
Primeiro, derivamos
:
Sabemos que:
Então:
Em seguida, integramos
para encontrar
:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da Integração por Partes:
Substituindo
,
e
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos focar na integral que ficou:
Vamos fazer outra integração por partes para resolver essa integral. Desta vez, escolhemos:
Calculando
e
:
Para encontrar
, integramos
:
Fazendo a substituição
, temos
, então:
Passo 6
Aplicando novamente a fórmula da Integração por Partes:
Substituindo
,
e
:
Simplificando:
Passo 7
Voltando à expressão anterior onde tínhamos:
Distribuindo o -2:
Resposta
A integral de em relação a
é:
onde
é a constante de integração.