Usando a substituição u=f^-1(x), e sabendo que dd x f^-1(x)=1f^prime(x), use Integração por Partes para integrar as seguintes funções inversas
(g) integral(arcsen(x))^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para integrarmos a função usando a técnica de Integração por Partes. Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo funções inversas e técnicas de integração. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como aplicar a integração por partes e usar a fórmula da derivada da função inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Integração por Partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u e dv. Vamos escolher:
Isso porque derivar vai simplificar a expressão, e integrar u = (arcsen(x))^2 e dv = dx é fácil.

Passo 3

Agora, vamos calcular du e v:
Primeiro, derivamos u:
Sabemos que:
Então:
Em seguida, integramos du = 2 cdot arcsen(x) cdot ddx (arcsen(x)) , dx para encontrar ddx (arcsen(x)) = 1raiz1 - x^2 :
du = 2 cdot arcsen(x)raiz1 - x^2 , dx

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da Integração por Partes:
Substituindo integral (arcsen(x))^2 , dx = u cdot v - integral v , du , u e v:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos focar na integral que ficou:
Vamos fazer outra integração por partes para resolver essa integral. Desta vez, escolhemos:
Calculando integral x cdot arcsen(x)raiz1 - x^2 , dx e u = arcsen(x) e dv = xraiz1 - x^2 , dx :
du
Para encontrar v, integramos du = 1raiz1 - x^2 , dx :
v
Fazendo a substituição dv, temos v = integral xraiz1 - x^2 , dx , então:
w = 1 - x^2

Passo 6

Aplicando novamente a fórmula da Integração por Partes:
Substituindo integral x cdot arcsen(x)raiz1 - x^2 , dx = u cdot v - integral v , du , u e v:
Simplificando:

Passo 7

Voltando à expressão anterior onde tínhamos:
Distribuindo o -2:

Resposta

A integral de em relação a (arcsen(x))^2 é:
onde x é a constante de integração.

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