Utilizando Identidades Trigonométricas e Substituição de Variáveis calcule as integrais indefinidas a seguir.
© integral cos ^4(2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral cos^4(2x) , dx. Aqui, a matéria que vamos usar são as Identidades Trigonométricas e a Substituição de Variáveis. Precisamos simplificar a expressão usando identidades trigonométricas para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica para cos^2theta:
cos^2theta = 1 + cos(2theta)2
Como temos cos^4(2x), podemos escrever:
cos^4(2x) = (cos^2(2x))^2 = (1 + cos(4x)2)^2

Passo 3

Expandindo o quadrado, temos:
cos^4(2x) = 1 + 2cos(4x) + cos^2(4x)4
Agora, aplicamos novamente a identidade para cos^2(4x):
cos^2(4x) = 1 + cos(8x)2
Substituindo de volta:
cos^4(2x) = 1 + 2cos(4x) + 1 + cos(8x)24 = 3 + 4cos(4x) + cos(8x)8

Passo 4

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral cos^4(2x) , dx = integral 38 , dx + integral 4cos(4x)8 , dx + integral cos(8x)8 , dx
Simplificando:
= 38x + 12 cdot sin(4x)4 + 18 cdot sin(8x)8 + C
= 38x + sin(4x)8 + sin(8x)64 + C

Resposta

A integral integral cos^4(2x) , dx é igual a:
38x + sin(4x)8 + sin(8x)64 + C

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