Determine se as integrais a seguir convergem ou divergem, e calcule o limite das que são convergentes.
integral0^infty e^-2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar se a integral converge ou diverge. A gente está trabalhando com integrais impróprias aqui, que envolvem limites infinitos. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções exponenciais e entender o conceito de convergência de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a integral é uma integral imprópria porque o limite superior é infinito. Para analisar a convergência, a gente vai calcular o limite dessa integral quando o limite superior tende ao infinito.

Passo 3

Sabemos que , onde é uma constante positiva. No nosso caso, . Então, a antiderivada de é .

Passo 4

Agora, aplicamos os limites da integral:
integral0^infty e^-2 x , dx = limb to infty [ -12 e^-2 b + 12 e^-2 cdot 0 ]

Passo 5

Simplificando os termos dentro do limite:
= limb to infty ( -12 e^-2 b + 12 )
Sabemos que = -12 cdot 0 + 12 = 12 tende a 0 quando tende ao infinito, então:

Resposta

A integral converge e o seu limite é .

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