Determine se as integrais a seguir convergem ou divergem, e calcule o limite das que são convergentes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar se a integral
converge ou diverge. A gente está trabalhando com integrais impróprias aqui, que envolvem limites infinitos. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções exponenciais e entender o conceito de convergência de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que a integral
é uma integral imprópria porque o limite superior é infinito. Para analisar a convergência, a gente vai calcular o limite dessa integral quando o limite superior tende ao infinito.
Passo 3
Sabemos que
, onde
é uma constante positiva. No nosso caso,
. Então, a antiderivada de
é
.
Passo 4
Agora, aplicamos os limites da integral:
Passo 5
Simplificando os termos dentro do limite:
Sabemos que
tende a 0 quando
tende ao infinito, então:
Resposta
A integral converge e o seu limite é
.