Determine se as integrais a seguir convergem ou divergem, e calcule o limite das que são convergentes.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para verificar se uma integral imprópria converge ou diverge e, se convergir, calcular o valor dela. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais impróprias e o teste do p para determinar a convergência. Vamos precisar entender como aplicar esse teste e calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a integral que a gente tem:
Essa é uma integral imprópria porque o limite superior é o infinito. Para saber se ela converge ou diverge, vamos usar o teste do p.
Passo 3
O teste do p é uma ferramenta que nos ajuda a determinar a convergência de integrais da forma:
Segundo esse teste:
- Se
, a integral converge. - Se
, a integral diverge.
Passo 4
No nosso caso, o expoente
é
, que é maior que 1. Então, pelo teste do p, a nossa integral converge. Agora, vamos calcular o valor dela.
Passo 5
Para calcular a integral, vamos encontrar a antiderivada de
. Podemos reescrever a função como
e integrar:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 até infinito:
Sabemos que
tende a 0 quando
tende ao infinito. E
é igual a 1.
Passo 7
Substituindo os valores:
Resposta
A integral converge e o seu valor é 3.