Determine se as integrais a seguir convergem ou divergem, e calcule o limite das que são convergentes.
integral1^infty 1x^4 / 3 d x

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para verificar se uma integral imprópria converge ou diverge e, se convergir, calcular o valor dela. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais impróprias e o teste do p para determinar a convergência. Vamos precisar entender como aplicar esse teste e calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a integral que a gente tem:
integral1^infty 1x^4 / 3 , dx
Essa é uma integral imprópria porque o limite superior é o infinito. Para saber se ela converge ou diverge, vamos usar o teste do p.

Passo 3

O teste do p é uma ferramenta que nos ajuda a determinar a convergência de integrais da forma:
integrala^infty 1x^p , dx
Segundo esse teste:
  • Se , a integral converge.
  • Se , a integral diverge.

Passo 4

No nosso caso, o expoente é , que é maior que 1. Então, pelo teste do p, a nossa integral converge. Agora, vamos calcular o valor dela.

Passo 5

Para calcular a integral, vamos encontrar a antiderivada de integral x^-4/3 , dx = x^-4/3 + 1-4/3 + 1 + C = x^-1/3-1/3 + C = -3x^-1/3 + C . Podemos reescrever a função como e integrar:

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 até infinito:
limb to infty [ -3x^-1/3 ]1^b = limb to infty ( -3b^-1/3 + 3 cdot 1^-1/3 )
Sabemos que tende a 0 quando tende ao infinito. E é igual a 1.

Passo 7

Substituindo os valores:
0 + 3 = 3

Resposta

A integral converge e o seu valor é 3.

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