Calcule as integrais a seguir usando a transformação de funções racionais em funções parciais
integral 2 x+1x^3-x^2-x+1 d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral integral2x+1x^3 - x^2 - x + 1,dx usando decomposição em frações parciais. Matéria: integração de funções racionais. Vamos precisar fatorar o denominador e escrever a função como soma de frações simples.

Passo 2

Para fatorar o denominador, fazemos agrupamento:
x^3 - x^2 - x + 1 = x^2(x - 1) -1(x - 1) = (x - 1)(x^2 - 1) = (x - 1)(x-1)(x+1) = (x - 1)^2(x + 1)

Passo 3

Assumimos a decomposição
2x+1(x-1)^2(x+1) = Ax-1 + B(x-1)^2 + Cx+1
Multiplicando ambos os lados por (x-1)^2(x+1), obtemos
2x + 1 = A(x-1)(x+1) + B(x+1) + C(x-1)^2

Passo 4

Expandindo e igualando coeficientes, temos
2x + 1 = (A+C)x^2 + (B - 2C)x + (-A + B + C)
Logo o sistema é
A + C = 0, B + 2A = 2, B - 2A = 1
Resolvendo, encontra-se A = tfrac14, B = tfrac32, C = -tfrac14.

Passo 5

Substituindo na integral, fica
integral2x+1x^3 - x^2 - x + 1,dx = integrall(1/4x-1 + 3/2(x-1)^2 - 1/4x+1r),dx
Agora integramos termo a termo:
  • integral1/4x-1dx = tfrac14ln|x-1|.
  • integral3/2(x-1)^2dx = 32 integral (x-1)^-2dx = -32(x-1).
  • integral-1/4x+1dx = -tfrac14ln|x+1|.

Passo 6

Juntando tudo, a resposta final é obtida misturando os logaritmos e o termo racional.

Resposta

14ln!l|tfracx-1x+1r| - 32(x-1) + C

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