Determine se as integrais a seguir convergem ou divergem e calcule o valor das que convergem.
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos saber se a integral imprópria
converge ou diverge e, em caso de convergência, calcular seu valor. O conteúdo aqui é análise de integrais impróprias do tipo p-integral, com singularidade em x=0. Vamos precisar analisar o limite quando nos aproximamos de 0 e usar a antiderivada de x^{–1/2}.
Passo 2
Como em x=0 o integrando explode, substituímos o limite inferior por um parâmetro e consideramos
para depois tomar .
Passo 3
Calculamos a antiderivada usando a fórmula (para ). Aqui , então
Passo 4
Aplicamos o teorema fundamental do cálculo ao intervalo de até 9:
Passo 5
Agora tomamos o limite quando varepsilonto0^+:
limvarepsilonto0^+2(3-raizvarepsilon) = 6
Como esse limite é finito, concluímos que a integral converge.