Determine se as integrais a seguir convergem ou divergem e calcule o valor das que convergem.
integral0^9 1raizx d x

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos saber se a integral imprópria
integral0^9 1raizx,dx
converge ou diverge e, em caso de convergência, calcular seu valor. O conteúdo aqui é análise de integrais impróprias do tipo p-integral, com singularidade em x=0. Vamos precisar analisar o limite quando nos aproximamos de 0 e usar a antiderivada de x^{–1/2}.

Passo 2

Como em x=0 o integrando x^-1/2 explode, substituímos o limite inferior por um parâmetro varepsilon>0 e consideramos
integralvarepsilon^9 x^-1/2,dx
para depois tomar limvarepsilonto0^+.

Passo 3

Calculamos a antiderivada usando a fórmula integral x^alphadx=x^alpha+1alpha+1+C (para alphaneq-1). Aqui alpha=-tfrac12, então
integral x^-1/2dx=x^-1/2+1-1/2+1=x^1/21/2=2x^1/2

Passo 4

Aplicamos o teorema fundamental do cálculo ao intervalo de varepsilon até 9:
integralvarepsilon^9 x^-1/2,dx = 2raizx|varepsilon^9 = 2(raiz9-raizvarepsilon) = 2(3-raizvarepsilon)

Passo 5

Agora tomamos o limite quando varepsilonto0^+:
limvarepsilonto0^+2(3-raizvarepsilon) = 6
Como esse limite é finito, concluímos que a integral converge.

Resposta

A integral converge e seu valor é 6.

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