Determine se a integral a seguir converge ou diverge, e calcule o limite da que é convergente.
Passo 1
Neste exercício vamos analisar a integral imprópria
. O conteúdo envolvido é estudo de convergência de integrais impróprias e cálculo de antiderivadas via substituição simples.
Passo 2
Para verificar a convergência, observamos o comportamento do integrando para
. Como
e sabemos que
converge se
, conclui-se que a integral dada converge.
Passo 3
Agora calculamos a integral indefinida. Fazemos a substituição
, então
e
. Assim temos:
Passo 4
Agora avaliamos o limite da primitiva no intervalo de 1 até
. Se
, então:
Resposta
Converge e o valor da integral é
.