Determine se a integral a seguir converge ou diverge, e calcule o limite da que é convergente.
integral1^infty x(1+x^2)^2 d x

Passo 1

Neste exercício vamos analisar a integral imprópria integral1^infty x(1+x^2)^2,dx. O conteúdo envolvido é estudo de convergência de integrais impróprias e cálculo de antiderivadas via substituição simples.

Passo 2

Para verificar a convergência, observamos o comportamento do integrando para xtoinfty. Como x(1+x^2)^2simxx^4=1x^3 e sabemos que integrala^infty x^-p,dx converge se p>1, conclui-se que a integral dada converge.

Passo 3

Agora calculamos a integral indefinida. Fazemos a substituição u=1+x^2, então du=2x,dx e x,dx=tfracdu2. Assim temos:
integral x(1+x^2)^2,dx = integral 12u^-2,du = -12u^-1+C = -12(1+x^2)+C

Passo 4

Agora avaliamos o limite da primitiva no intervalo de 1 até infty. Se F(x)=-tfrac12(1+x^2), então:
limRtoinftyl(F(R)-F(1)r) = limRtoinftyl(-12(1+R^2)+12(1+1^2)r) = 0 + 14 = 14

Resposta

Converge e o valor da integral é tfrac14.

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