Determine se a integral a seguir converge ou diverge, e calcule o limite da que é convergente.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a integral imprópria
. O conteúdo aqui é teste de convergência de integrais impróprias, precisaremos checar os comportamentos em
e
.
Passo 2
Para
, o integrando é
, que é finito. Logo não há problema de divergência no limite inferior.
Passo 3
Para verificar o comportamento em
, note que quando
é grande temos aproximadamente
. Como em integrais do tipo
a divergência ocorre se
, aqui com
a integral tende a divergir.
Passo 4
Para confirmar, calculemos a primitiva:
Passo 5
Avalie de 0 até
e faça
:
Passo 6
Portanto a integral não converge, pois seu valor cresce sem limite.
Resposta
A integral diverge (seu valor tende a +∞).