Determine se a integral a seguir converge ou diverge, e calcule o limite da que é convergente.
integral0^infty 1raiz[3]x+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral imprópria integral0^infty1raiz[3]x+1,dx. O conteúdo aqui é teste de convergência de integrais impróprias, precisaremos checar os comportamentos em x=0 e xtoinfty.

Passo 2

Para x=0, o integrando é 1raiz[3]0+1=1, que é finito. Logo não há problema de divergência no limite inferior.

Passo 3

Para verificar o comportamento em xtoinfty, note que quando x é grande temos aproximadamente 1raiz[3]x+1sim x^-1/3. Como em integrais do tipo integral^inftyx^-pdx a divergência ocorre se p<=1, aqui com p=1/3<1 a integral tende a divergir.

Passo 4

Para confirmar, calculemos a primitiva:
F(x)=integral1(x+1)^1/3dx=(x+1)^2/32/3=32(x+1)^2/3

Passo 5

Avalie de 0 até R e faça Rtoinfty:
integral0^R1(x+1)^1/3dx=32l[(R+1)^2/3-1r]xrightarrow[Rtoinfty]+infty

Passo 6

Portanto a integral não converge, pois seu valor cresce sem limite.

Resposta

A integral diverge (seu valor tende a +∞).

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