Nos Exercícios 19 e 20, determine se a seqüência dada é limitada.
n^2+3n+1

Passo 1

O enunciado pede para analisar se a sequência an=n^2+3n+1 é limitada. Este é um problema de sequências reais: vamos precisar entender o conceito de sequência limitada e estudar o comportamento de an para ntoinfty.

Passo 2

Para ver melhor como an cresce, fazemos divisão de polinômios. Dividindo n^2+3 por n+1 obtemos:
n^2+3n+1=n-1+4n+1

Passo 3

Analisando o termo à direita, quando ntoinfty temos 4n+1to0 e portanto
an=n-1+4n+1sim n-1to+infty

Passo 4

Logo, an cresce sem limite superior. Observamos também que para n>=1 todos os termos são positivos, então existe um limite inferior (por exemplo 0), mas não existe limite superior.

Passo 5

Conclusão: a sequência não é limitada, pois cresce indefinidamente para valores arbitrariamente grandes.

Resposta

A sequência não é limitada.

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