Determine se as integrais a seguir convergem ou divergem e calcule o valor das que convergem.
Passo 1
A integral que temos é
. Isso cai em integrais impróprias por causa de um possível estouro em
. Vamos testar a convergência nesse ponto e, se tudo der certo, calcular usando uma substituição.
Passo 2
Para ver se converge em 0, note que quando
é bem pequenino temos
. Então
. Como a integral
converge, a nossa também converge nesse extremo.
Passo 3
Bora calcular: use a substituição
. Daí
e
. Os limites ficam
e
.
Passo 4
Com isso, a gente transforma a integral em algo tranquilinho:
Resposta
Converge e vale
.