Determine se as integrais a seguir convergem ou divergem e calcule o valor das que convergem.
integral0^1 e^raizxraizx d x

Passo 1

A integral que temos é integral0^1 e^raizxraizx,dx. Isso cai em integrais impróprias por causa de um possível estouro em x=0. Vamos testar a convergência nesse ponto e, se tudo der certo, calcular usando uma substituição.

Passo 2

Para ver se converge em 0, note que quando x é bem pequenino temos e^raizxapprox1. Então e^raizxraizxsim1raizx. Como a integral integral0^de converge, a nossa também converge nesse extremo.

Passo 3

Bora calcular: use a substituição t=raizx. Daí x=t^2 e dx=2t,dt. Os limites ficam t(0)=0 e t(1)=1.
x = t^2, dx = 2t,dt

Passo 4

Com isso, a gente transforma a integral em algo tranquilinho:
integral0^1 e^raizxraizx,dx = integral0^1 e^tt cdot 2t,dt = 2 integral0^1 e^t,dt = 2l[e^tr]0^1 = 2(e - 1)

Resposta

Converge e vale 2(e - 1).

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