Determine se as integrais a seguir convergem ou divergem e calcule o valor das que convergem.
integral1^2 xx^2-1 d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral imprópria integral1^2xx^2-1,dx, verificando se ela converge e, em caso positivo, calcular seu valor. O conteúdo envolve integrais impróprias com descontinuidade no intervalo, frações parciais e limites.

Passo 2

Para decompor a função e facilitar a integração, fatoramos x^2-1=(x-1)(x+1) e usamos frações parciais. Assim, escrevemos:
xx^2-1=121x-1+121x+1

Passo 3

Transformamos a integral em uma integral imprópria, introduzindo o limite quando x se aproxima de 1 pelo lado direito:
integral1^2xx^2-1,dx=limato1^+integrala^2l(12(x-1)+12(x+1)r)dx

Passo 4

Calculamos o antiderivado da soma das frações:
integrall(12(x-1)+12(x+1)r)dx=12ln|x-1|+12ln|x+1|+C

Passo 5

Avaliamo-lo de a a 2 e tomamos o limite ato1^+. Para x=2 o resultado é tfrac12ln1+tfrac12ln3=tfrac12ln3, mas ao aproximar ato1^+ aparece ln(a-1)to-infty, fazendo a integral divergir. Logo não converge.

Resposta

A integral é imprópria e diverge (não converge para um valor finito).

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