Determine se as integrais a seguir convergem ou divergem e calcule o valor das que convergem.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a integral imprópria
, verificando se ela converge e, em caso positivo, calcular seu valor. O conteúdo envolve integrais impróprias com descontinuidade no intervalo, frações parciais e limites.
Passo 2
Para decompor a função e facilitar a integração, fatoramos
e usamos frações parciais. Assim, escrevemos:
Passo 3
Transformamos a integral em uma integral imprópria, introduzindo o limite quando
se aproxima de 1 pelo lado direito:
Passo 4
Calculamos o antiderivado da soma das frações:
Passo 5
Avaliamo-lo de
a 2 e tomamos o limite
. Para
o resultado é
, mas ao aproximar
aparece
, fazendo a integral divergir. Logo não converge.
Resposta
A integral é imprópria e diverge (não converge para um valor finito).