Determine se as integrais a seguir convergem ou divergem e calcule o valor das que convergem.
Passo 1
A gente tem a integral imprópria
. O conteúdo aqui é integral imprópria com singularidade no limite de integração, e vamos precisar: (i) analisar a convergência usando o teste de p-integral; (ii) encontrar a primitiva da função potência
.
Passo 2
Observando o comportamento perto de
, a integral é imprópria porque
fica infinita quando
. Para comparar, note que se tivéssemos
com
, a integral
converge. Aqui
, então nossa integral deve convergir.
Passo 3
Agora vamos calcular a primitiva de
. Fazendo a substituição
, temos
, então
Passo 4
Por fim, avaliamos a integral definida como limite improprio:
Passo 5
Como o limite é finito, a integral converge e vale
.
Resposta
Converge, e o valor é
.