Determine se as integrais a seguir convergem ou divergem e calcule o valor das que convergem.
integral0^4 1(4-x)^2 / 3 d x

Passo 1

A gente tem a integral imprópria integral0^4 1(4-x)^2/3,dx. O conteúdo aqui é integral imprópria com singularidade no limite de integração, e vamos precisar: (i) analisar a convergência usando o teste de p-integral; (ii) encontrar a primitiva da função potência (4-x)^-2/3.

Passo 2

Observando o comportamento perto de x=4, a integral é imprópria porque (4-x)^-2/3 fica infinita quando xto4^-. Para comparar, note que se tivéssemos (4-x)^-p com p<1, a integral integrala^4(4-x)^-pdx converge. Aqui p=2/3<1, então nossa integral deve convergir.

Passo 3

Agora vamos calcular a primitiva de (4-x)^-2/3. Fazendo a substituição u=4-x, temos du=-dx, então
nabla F(x)=integral(4-x)^-2/3,dx = -integral u^-2/3,du = -u^1/31/3 + C = -3,u^1/3 + C = -3,(4-x)^1/3 + C

Passo 4

Por fim, avaliamos a integral definida como limite improprio:
nabla integral0^4 1(4-x)^2/3,dx = limbto4^- l[-3(4-x)^1/3r]0^b = limbto4^-l[-3(4-b)^1/3 +3(4-0)^1/3r] = 3,4^1/3

Passo 5

Como o limite é finito, a integral converge e vale 3raiz[3]4.

Resposta

Converge, e o valor é 3raiz[3]4.

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