Encontre a série de Maclaurin de f(x)=e^x^2,

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=e^x^2. O conteúdo é séries de Taylor/Maclaurin e vamos precisar conhecer a expansão de e^t em torno de zero.

Passo 2

A série de Maclaurin de e^t é dada por
e^t=sumn=0^inftyt^nn!
Aqui usamos o fato de que as derivadas de e^t em zero valem 1 em todas as ordens.

Passo 3

Para obter a expansão de e^x^2, fazemos a substituição t=x^2 na série anterior. Assim,
e^x^2=sumn=0^infty(x^2)^nn!=sumn=0^inftyx^2nn!

Passo 4

Se quiser ver os primeiros termos, basta escrever n=0,1,2,3:
e^x^2=1 + x^2 + x^42! + x^63! + cdots
Essa série converge para todo x, pois o raio de convergência de e^t é infinito.

Resposta

e^x^2=sumn=0^inftyx^2nn!.

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