Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
sumn=1^infty (x-1)^nn^2

Passo 1

Temos a série de potências centrada em x₀=1 dada por sumn=1^infty (x-1)^nn^2. O objetivo é encontrar o raio de convergência R e, em seguida, determinar o intervalo de convergência completo, conferindo também os extremos.

Passo 2

Vamos usar o teste da raiz (Cauchy–Hadamard). Calculamos
limntoinftyraiz[n]|(x-1)^nn^2| = limntoinfty|x-1|n^2/n = |x-1|, portanto a série converge se |x-1|<1. Desse modo, o raio de convergência é R=1.

Passo 3

Faltam agora os extremos do intervalo:
  • Para x=1+1=2 a série vira sumn=1^infty1^nn^2=sumn=1^infty1n^2, que é uma série p com p=2>1, logo converge.
  • Para x=1-1=0 a série vira sumn=1^infty(-1)^nn^2, que converge absolutamente pois sum1/n^2 converge.
    Ambos os extremos pertencem ao conjunto de convergência, então o intervalo de convergência é fechado.

Passo 4

Resposta

Raio de convergência: R = 1. Intervalo de convergência: [0, 2].

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