Determine se a integral a seguir converge ou diverge, e calcule o limite da que é convergente.
integral1^infty 1x^4 / 3 d x

Passo 1

Estamos analisando a integral imprópria de 1 a ∞ de 1/x^{4/3}, que cai no tema de integrais do tipo p-integral. Precisamos verificar convergência usando o teste de p-integral e, se convergir, calcular o seu valor.

Passo 2

O teste de p-integral diz que integral1^inftyx^-pdx converge se, e só se, p>1. Aqui temos p=4/3>1, portanto a integral converge.

Passo 3

Para encontrar o valor, calculamos a primitiva de x^-4/3. Temos:
integral x^-4/3,dx = x^-4/3+1-4/3+1 = x^-1/3-1/3 = -3,x^-1/3
Agora avaliamos o limite da primitiva entre 1 e b e fazemos btoinfty:
limbtoinftyl[-3b^-1/3r]1^b = limbtoinftyl(-3b^-1/3 +3r) = 0 + 3 = 3

Resposta

A integral converge e seu valor é 3.

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