Determine se as integrais a seguir convergem ou divergem e calcule o valor das que convergem.
integral0^4 1(4-x)^3 / 2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para a gente verificar se a integral converge ou diverge e, se convergir, calcular o valor. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a integral é própria ou imprópria. Perceba que no intervalo , o denominador se aproxima de zero quando se aproxima de 4. Isso pode causar um problema, já que dividir por um número muito pequeno pode levar a valores muito grandes, indicando uma possível descontinuidade na função. Por isso, a integral é imprópria devido ao ponto de descontinuidade em .

Passo 3

Para analisar a convergência dessa integral imprópria, vamos reescrevê-la como um limite. Isso nos ajuda a tratar o comportamento da função perto do ponto problemático (nesse caso, integral0^4 1(4-x)^3 / 2 dx = limb to 4^- integral0^b 1(4-x)^3 / 2 dx ).

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral integral 1u^3/2 (-du) = -integral u^-3/2 du . Para isso, fazemos uma substituição simples:
Seja - ( u^-1/2-1/2 ) + C = 2u^-1/2 + C = 2raizu + C , então 2raiz4 - x + C ou .
Substituindo na integral:
A integral de é:
Voltando para :

Passo 5

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a integral0^b 1(4-x)^3 / 2 dx = [ 2raiz4 - x ]0^b = 2raiz4 - b - 2raiz4 - 0 = 2raiz4 - b - 22 = 2raiz4 - b - 1 :

Passo 6

Agora, aplicamos o limite quando limb to 4^- ( 2raiz4 - b - 1 ) se aproxima de 4:
limb to 4^- ( 2raiz4 - b - 1 ) = infty - 1 = infty
À medida que se aproxima de 4 pela esquerda, se aproxima de 0, fazendo com que também se aproxime de 0. Assim, tende ao infinito. Portanto:

Resposta

A integral diverge.

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