Determine se as integrais a seguir convergem ou divergem e calcule o valor das que convergem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para a gente verificar se a integral
converge ou diverge e, se convergir, calcular o valor. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a integral é própria ou imprópria. Perceba que no intervalo
, o denominador
se aproxima de zero quando
se aproxima de 4. Isso pode causar um problema, já que dividir por um número muito pequeno pode levar a valores muito grandes, indicando uma possível descontinuidade na função. Por isso, a integral é imprópria devido ao ponto de descontinuidade em
.
Passo 3
Para analisar a convergência dessa integral imprópria, vamos reescrevê-la como um limite. Isso nos ajuda a tratar o comportamento da função perto do ponto problemático (nesse caso,
).
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral
. Para isso, fazemos uma substituição simples:
Seja
, então
ou
.
Substituindo na integral:
A integral de
é:
Voltando para
:
Passo 5
Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a
:
Passo 6
Agora, aplicamos o limite quando
se aproxima de 4:
À medida que
se aproxima de 4 pela esquerda,
se aproxima de 0, fazendo com que
também se aproxime de 0. Assim,
tende ao infinito. Portanto:
Resposta
A integral
diverge.