Resolva as integrais por partes:
integral sin ^5(x) d x

Passo 1

O exercício pede para calcular integral sin^5(x),dx usando integração por partes e identidades trigonométricas — tema de integrais de funções trigonométricas de potências ímpares.

Passo 2

Escolhemos u=sin^4(x) e dv=sin(x),dx. Assim teremos que calcular du e v.

Passo 3

Derivando u obtemos du=4sin^3(x)cos(x),dx. Integrando dv achamos v=-cos(x). Aplicando a fórmula de partes integral u,dv = u,v - integral v,du fica:
integral sin^5(x),dx = -sin^4(x)cos(x) + 4integral sin^3(x)cos^2(x),dx

Passo 4

Usamos a identidade cos^2(x)=1-sin^2(x) no integral restante:
integral sin^3(x)cos^2(x),dx = integral sin^3(x),dx - integral sin^5(x),dx

Passo 5

Substituindo de volta na expressão de partes:
integral sin^5(x),dx = -sin^4(x)cos(x) + 4integral sin^3(x),dx - 4integral sin^5(x),dx
Transferindo -4integral sin^5(x),dx para o lado esquerdo:
5integral sin^5(x),dx = -sin^4(x)cos(x) + 4integral sin^3(x),dx

Passo 6

Para calcular integral sin^3(x),dx, fazemos a substituição w=cos(x), dw=-sin(x),dx. Reescrevendo sin^3(x),dx = (1-cos^2(x))sin(x),dx = -(1-w^2),dw e integrando:
integral sin^3(x),dx = -w + w^33 + C = -cos(x) + cos^3(x)3 + C

Passo 7

Substituímos em 5integral sin^5(x),dx = -sin^4(x)cos(x) + 4(-cos(x) + tfraccos^3(x)3). Simplificando e dividindo por 5, chega-se a:
integral sin^5(x),dx = -sin^4(x)cos(x)5 - 4cos(x)5 + 4cos^3(x)15 + C

Resposta

integral sin^5(x),dx = -sin^4(x)cos(x)5 - 4cos(x)5 + 4cos^3(x)15 + C

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