Determine as integrais (substituição trigonométrica):
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral por substituição trigonométrica
Informações dadas:
Pergunta: determinar a primitiva (ou integral indefinida) desta função.
Passo 2
Por que usar substituição trigonométrica? Quando aparece
e
, a substituição padrão é
porque
transforma a raiz em uma função trigonométrica simples. Como
, podemos tomar
no intervalo
(onde
e
), o que evita ambiguidades de sinal.
Passo 3
Faço a substituição
. Calculo os elementos necessários:
Agora substituo na integral:
Simplificando fatores iguais (
cancela):
Passo 4
Para integrar
uso a identidade de ângulo duplo:
Substituindo:
Então
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Simplifico o termo
usando
:
Passo 6
Volto para a variável
. Como
, temos
. Além disso
e portanto
Logo
Também
. Assim a primitiva fica
Passo 7
Verificação rápida (opcional, para garantir que não errei): derivando
que coincide com o integrando dado. Boa — está consistente.