Determine as integrais (substituição trigonométrica):
\int \frac{2 d x}{x^{3} \sqrt{x^{2}-1}}, x>1

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral por substituição trigonométrica
\int \frac{2\,dx}{x^{3}\sqrt{x^{2}-1}},\quad x>1.
Informações dadas:
\text{integrando } \frac{2}{x^{3}\sqrt{x^{2}-1}},\qquad \text{domínio } x>1.í
Pergunta: determinar a primitiva (ou integral indefinida) desta função.

Passo 2

Por que usar substituição trigonométrica? Quando aparece \sqrt{x^{2}-1} e x>1, a substituição padrão é
x=\operatorname{sec}\theta,
porque \operatorname{sec}^{2}\theta-1=\tan^{2}\theta transforma a raiz em uma função trigonométrica simples. Como x>1, podemos tomar \theta no intervalo [0,\tfrac{\pi}{2}) (onde \operatorname{sec}\theta\ge1 e \tan\theta\ge0), o que evita ambiguidades de sinal.

Passo 3

Faço a substituição \,x=\operatorname{sec}\theta. Calculo os elementos necessários:
dx=\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta,
\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{\operatorname{sec}^{2}\theta-1}=\tan\theta\quad(\text{como }\theta\in[0,\tfrac{\pi}{2})),
x^{3}=\operatorname{sec}^{3}\theta.
Agora substituo na integral:
\int \frac{2\,dx}{x^{3}\sqrt{x^{2}-1}} = \int \frac{2\cdot \operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta}{\operatorname{sec}^{3}\theta\cdot \tan\theta}.
Simplificando fatores iguais ( \tan\theta cancela):
\int \frac{2\operatorname{sec}\theta\tan\theta}{\operatorname{sec}^{3}\theta\tan\theta}\,d\theta = \int \frac{2}{\operatorname{sec}^{2}\theta}\,d\theta = \int 2\cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Para integrar \int 2\cos^{2}\theta\,d\theta uso a identidade de ângulo duplo:
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Substituindo:
2\cos^{2}\theta = 2\cdot\frac{1+\cos(2\theta)}{2}=1+\cos(2\theta).
Então
\int 2\cos^{2}\theta\,d\theta = \int \bigl(1+\cos(2\theta)\bigr)\,d\theta = \theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Simplifico o termo \tfrac{1}{2}\sin(2\theta) usando \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta:
\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta) + C = \theta + \sin\theta\cos\theta + C.

Passo 6

Volto para a variável x. Como x=\operatorname{sec}\theta, temos \cos\theta=\frac{1}{x}. Além disso
\tan\theta=\sqrt{\operatorname{sec}^{2}\theta-1}=\sqrt{x^{2}-1},
e portanto
\sin\theta=\tan\theta\cos\theta=\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}.
Logo
\sin\theta\cos\theta=\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}\cdot\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x^{2}}.
Também \theta=\operatorname{arcsec}(x)=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr). Assim a primitiva fica
\theta+\sin\theta\cos\theta + C = \operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{x}\right) + \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x^{2}} + C.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, para garantir que não errei): derivando
\frac{d}{dx}\left[\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{x}\right)+\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x^{2}}\right] = \frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}} + \frac{2-x^{2}}{x^{3}\sqrt{x^{2}-1}} = \frac{2}{x^{3}\sqrt{x^{2}-1}},
que coincide com o integrando dado. Boa — está consistente.

Resposta

\displaystyle \operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{x}\right) + \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x^{2}} + C

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