Determine as integrais triplas:
\iiint_{R} \operatorname{sen}(x+y+z) d x d y d z, onde R=[0, \pi] \times[0, \pi] \times[0, \pi];

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{R}\operatorname{sen}(x+y+z)\,dx\,dy\,dz
no cubo R=[0,\pi]\times[0,\pi]\times[0,\pi]. O conteúdo é aplicação do Teorema de Fubini para separar a integral em iteradas.

Passo 2

Usando Fubini, primeiro integramos em x:
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(x+y+z)\,dx =\bigl[-\cos(x+y+z)\bigr]_{x=0}^{x=\pi} =-\cos(\pi+y+z)+\cos(y+z).
Como \cos(\pi+y+z)=-\cos(y+z), segue
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(x+y+z)\,dx =2\cos(y+z).
Logo a integral tripla vira
\int_{0}^{\pi}\!\!\int_{0}^{\pi}2\cos(y+z)\,dy\,dz.

Passo 3

Agora integramos em y:
\int_{0}^{\pi}2\cos(y+z)\,dy =2\bigl[\operatorname{sen}(y+z)\bigr]_{y=0}^{y=\pi} =2\bigl(\operatorname{sen}(\pi+z)-\operatorname{sen}(z)\bigr).
Como \operatorname{sen}(\pi+z)=-\operatorname{sen}(z), obtemos
\int_{0}^{\pi}2\cos(y+z)\,dy =-4\operatorname{sen}(z).

Passo 4

Por fim, integramos em z:
\int_{0}^{\pi}(-4\operatorname{sen}(z))\,dz =-4\bigl[-\cos(z)\bigr]_{0}^{\pi} =-4\bigl(-\cos(\pi)+\cos(0)\bigr) =-4\bigl(-(-1)+1\bigr) =-8.

Resposta

\iiint_{R}\operatorname{sen}(x+y+z)\,dx\,dy\,dz=-8.

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