Determine as integrais triplas:
\iiint_{R} f(x, y, z) d V, onde R=[a, b] \times[c, d] \times[p, q], onde f(x, y, z)=1;

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
\iiint_{R}f(x,y,z)\,dV
no domínio R=[a,b]\times[c,d]\times[p,q] com f(x,y,z)=1.
O conteúdo aqui é integrais múltiplas e o Teorema de Fubini, que permite escrever a integral como iterada.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, podemos escrever
\iiint_{R}1\,dV = \int_{x=a}^{b}\!\int_{y=c}^{d}\!\int_{z=p}^{q}1\,dz\,dy\,dx.

Passo 3

Integramos primeiro em z:
\int_{z=p}^{q}1\,dz = q - p.

Passo 4

Substituímos esse resultado e integramos em y:
\int_{y=c}^{d}(q - p)\,dy = (q - p)\,(d - c).

Passo 5

Por fim, integramos em x:
\int_{x=a}^{b}(q - p)(d - c)\,dx = (q - p)(d - c)(b - a).

Resposta

\iiint_{R}1\,dV = (b - a)(d - c)(q - p).

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