Determine as integrais triplas:
\int_{0}^{3} \int_{-1}^{0} \int_{1}^{2}(x+2 y+4 z) d x d y d z;

Passo 1

O enunciado pede a integral tripla
\int_{z=0}^{3}\int_{y=-1}^{0}\int_{x=1}^{2}(x+2y+4z)\,dx\,dy\,dz.
O conteúdo usado é o Teorema de Fubini para integrais múltiplas, pois o domínio é um paralelepípedo e a função é contínua. Vamos integrar em ordem x, depois y e por fim z.

Passo 2

Integramos em relação a x, com y e z tratados como constantes:
\int_{1}^{2}(x+2y+4z)\,dx =\int_{1}^{2}x\,dx \;+\;2y\int_{1}^{2}dx \;+\;4z\int_{1}^{2}dx.
Calculando cada termo:
\int_{1}^{2}x\,dx=\frac{x^2}{2}\Big|_{1}^{2}=\frac{4-1}{2}=\frac32, \quad \int_{1}^{2}dx=2-1=1.
Logo
\int_{1}^{2}(x+2y+4z)\,dx =\frac32 +2y\cdot1+4z\cdot1 =\frac32 +2y+4z.

Passo 3

Agora integramos em relação a y:
\int_{y=-1}^{0}\Bigl(\tfrac32+2y+4z\Bigr)\,dy =\frac32\int_{-1}^{0}dy +2\int_{-1}^{0}y\,dy +4z\int_{-1}^{0}dy.
Calculamos:
\int_{-1}^{0}dy =1, \quad \int_{-1}^{0}y\,dy =\frac{y^2}{2}\Big|_{-1}^{0}=\frac{0-1}{2}=-\frac12.
Portanto
\int_{-1}^{0}\Bigl(\tfrac32+2y+4z\Bigr)\,dy =\frac32\cdot1 +2\Bigl(-\frac12\Bigr)+4z\cdot1 =\frac32 -1+4z =\frac12+4z.

Passo 4

Finalmente, integramos em relação a z:
\int_{0}^{3}\Bigl(\tfrac12+4z\Bigr)\,dz =\frac12\int_{0}^{3}dz +4\int_{0}^{3}z\,dz =\frac12\cdot3 +4\cdot\frac{z^2}{2}\Big|_{0}^{3} =\frac32 +4\cdot\frac{9}{2} =\frac32 +\frac{36}{2} =\frac{39}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{39}{2}

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