Determine as integrais triplas: \int_{0}^{3} \int_{-1}^{0} \int_{1}^{2}(x+2 y+4 z) d x d y d z; Passo 1O enunciado pede a integral tripla \int_{z=0}^{3}\int_{y=-1}^{0}\int_{x=1}^{2}(x+2y+4z)\,dx\,dy\,dz. O conteúdo usado é o Teorema de Fubini para integrais múltiplas, pois o domínio é um paralelepípedo e a função é contínua. Vamos integrar em ordem x, depois y e por fim z. Passo 2Integramos em relação a x, com y e z tratados como constantes: \int_{1}^{2}(x+2y+4z)\,dx =\int_{1}^{2}x\,dx \;+\;2y\int_{1}^{2}dx \;+\;4z\int_{1}^{2}dx. Calculando cada termo: \int_{1}^{2}x\,dx=\frac{x^2}{2}\Big|_{1}^{2}=\frac{4-1}{2}=\frac32, \quad \int_{1}^{2}dx=2-1=1. Logo \int_{1}^{2}(x+2y+4z)\,dx =\frac32 +2y\cdot1+4z\cdot1 =\frac32 +2y+4z. Passo 3Agora integramos em relação a y: \int_{y=-1}^{0}\Bigl(\tfrac32+2y+4z\Bigr)\,dy =\frac32\int_{-1}^{0}dy +2\int_{-1}^{0}y\,dy +4z\int_{-1}^{0}dy. Calculamos: \int_{-1}^{0}dy =1, \quad \int_{-1}^{0}y\,dy =\frac{y^2}{2}\Big|_{-1}^{0}=\frac{0-1}{2}=-\frac12. Portanto \int_{-1}^{0}\Bigl(\tfrac32+2y+4z\Bigr)\,dy =\frac32\cdot1 +2\Bigl(-\frac12\Bigr)+4z\cdot1 =\frac32 -1+4z =\frac12+4z. Passo 4Finalmente, integramos em relação a z: \int_{0}^{3}\Bigl(\tfrac12+4z\Bigr)\,dz =\frac12\int_{0}^{3}dz +4\int_{0}^{3}z\,dz =\frac12\cdot3 +4\cdot\frac{z^2}{2}\Big|_{0}^{3} =\frac32 +4\cdot\frac{9}{2} =\frac32 +\frac{36}{2} =\frac{39}{2}. Resposta \displaystyle \frac{39}{2} MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDetermine as integrais triplas: \iiint_{R} \operatorname{sen}(x+y+z) d x d y d z, onde R=[0, \pi] \times[0, \pi] \times[0, \pi]; Determine as integrais triplas: \iiint_{R} f(x, y, z) d V, onde R=[a, b] \times[c, d] \times[p, q], onde f(x, y, z)=1; Integrando por partes, prove que: \mathcal{L}\left\{\cos (a t)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}, a \in \mathbb{R}\right. Prove que \int_{-\pi}^{\pi} \sin n t \sin m t d t=\left\{\begin{array}{ccc}0 & \text { se } & m \neq n \\\ \pi & \text { se } & m, n \geq 1\end{array}\right..