Integrando por partes, prove que:
\mathcal{L}\left\{\cos (a t)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}, a \in \mathbb{R}\right.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de \cos(a t) usando integração por partes. O conteúdo principal é a definição
\mathcal{L}\{\cos(a t)\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\cos(a t)\,dt
e a técnica de integração por partes, que diz
\int u\,dv = u v - \int v\,du.

Passo 2

Definimos
I = \mathcal{L}\{\cos(a t)\}(s) = \int_{0}^{\infty}e^{-s t}\cos(a t)\,dt.
Para aplicar partes, escolhemos
u = \cos(a t), \quad dv = e^{-s t}dt,
de onde
du = -a\sin(a t)\,dt, \quad v = \int e^{-s t}dt = -\frac{1}{s}e^{-s t}.
Então
I = \Bigl.u\,v\Bigr|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty}v\,du = \Bigl[-\frac{e^{-s t}\cos(a t)}{s}\Bigr]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty}\Bigl(-\frac{1}{s}e^{-s t}\Bigr)\bigl(-a\sin(a t)\bigr)dt.
Como s>0, no infinito o termo e^{-s t} zera e, em t=0, \cos(0)=1. Logo
\Bigl[-\frac{e^{-s t}\cos(a t)}{s}\Bigr]_{0}^{\infty} = 0 -\Bigl(-\frac{1}{s}\Bigr) = \frac{1}{s}.
Denotando
J = \int_{0}^{\infty}e^{-s t}\sin(a t)\,dt,
ficamos com
I = \frac{1}{s} - \frac{a}{s}\,J.

Passo 3

Agora aplicamos integração por partes para
J = \int_{0}^{\infty}e^{-s t}\sin(a t)\,dt.
Escolhemos
u = \sin(a t), \quad dv = e^{-s t}dt
de onde
du = a\cos(a t)\,dt, \quad v = -\frac{1}{s}e^{-s t}.
Então
J = \Bigl[-\frac{e^{-s t}\sin(a t)}{s}\Bigr]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty}\Bigl(-\frac{1}{s}e^{-s t}\Bigr)\bigl(a\cos(a t)\bigr)dt.
Novamente o termo de fronteira vale zero em t\to\infty e também em t=0. Logo
J = 0 + \frac{a}{s}\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\cos(a t)\,dt = \frac{a}{s}\,I.

Passo 4

Voltamos à relação obtida em I:
I = \frac{1}{s} - \frac{a}{s}\,J = \frac{1}{s} - \frac{a}{s}\,\Bigl(\frac{a}{s}I\Bigr) = \frac{1}{s} - \frac{a^{2}}{s^{2}}\,I.
Reagrupando em I:
I + \frac{a^{2}}{s^{2}}\,I = \frac{1}{s} \quad\Longrightarrow\quad I\Bigl(1 + \frac{a^{2}}{s^{2}}\Bigr) = \frac{1}{s} \quad\Longrightarrow\quad I \,\frac{s^{2}+a^{2}}{s^{2}} = \frac{1}{s}.
Logo
I = \frac{1}{s}\cdot\frac{s^{2}}{s^{2}+a^{2}} = \frac{s}{s^{2}+a^{2}}.

Resposta

\mathcal{L}\{\cos(a t)\}(s) = \frac{s}{s^{2}+a^{2}}.

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