Determine as integrais triplas:
integral-1^2 integral1^x^2 integral0^x+y 2 x^2 y d z d y d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla integralx=-1^2integraly=1^x^2integralz=0^x+y2x^2y,dz,dy,dx. É um problema de integrais triplas em que podemos aplicar o Teorema de Fubini e fazer a integração iterada nas variáveis z, depois y e por fim x.

Passo 2

Primeiro, integramos em relação a z, tratando x e y como constantes. Assim,
integral0^x+y2x^2y,dz = 2x^2yl[zr]0^x+y = 2x^2y(x+y)

Passo 3

Agora, integramos o resultado em y de 1 até x^2:
integraly=1^x^22x^2y(x+y),dy = 2x^2integral1^x^2(xy + y^2),y,dy = 2x^2integral1^x^2(x y^2 + y^3),dy

Passo 4

Calculando as duas parcelas separadamente:
2x^2integral1^x^2x y^2,dy = 2x^3integral1^x^2y^2,dy = 2x^3l[tfrac13y^3r]1^x^2 = tfrac23x^3l(x^6-1r),
2x^2integral1^x^2y^3,dy = 2x^2l[tfrac14y^4r]1^x^2 = tfrac12x^2l(x^8-1r)

Passo 5

Somando-as obtemos o integrando em x:
tfrac23x^3(x^6-1) + tfrac12x^2(x^8-1) = x^7 + tfrac23x^8 - x^3 - tfrac23x^2

Passo 6

Por fim, integramos em x de -1 a 2:
integral-1^2l(x^7 + tfrac23x^8 - x^3 - tfrac23x^2r),dx

Passo 7

Calculando a primitiva F(x)=tfrac18x^8 + tfrac227x^9 - tfrac14x^4 - tfrac29x^3 e avaliando de -1 a 2, chegamos a
F(2)-F(-1)=173227-5216=5138

Passo 8

Portanto, o valor da integral tripla é tfrac5138.

Resposta

\tfrac{513}{8}

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