Determine as integrais triplas:
integral triplaR x y z d V, onde R=[0,1] times[1,2] times[0,3];

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral tripla integral triplaR x y z , dV, onde a região R está definida pelos intervalos x in [0,1], y in [1,2] e z in [0,3]. Isso envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais tripas, que nos permitem calcular o volume sob uma função em três dimensões. Vamos precisar integrar a função x y z primeiro em relação a uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar com relação a z. A função a integrar é x y z, onde x e y são constantes em relação a z. A integral de z de 0 a 3 é:
integral0^3 x y z , dz = x y [ z^22 ]0^3 = x y ( 92 - 0 ) = 92 x y

Passo 3

Agora, vamos integrar o resultado em relação a y, de 1 a 2. Então, temos:
integral1^2 92 x y , dy = 92 x [ y^22 ]1^2 = 92 x ( 42 - 12 ) = 92 x ( 32 ) = 274 x

Passo 4

Por fim, vamos integrar o resultado em relação a x, de 0 a 1:
integral0^1 274 x , dx = 274 [ x^22 ]0^1 = 274 ( 12 - 0 ) = 278

Resposta

O valor da integral tripla é 278.

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