Determine as integrais triplas:
integral triplaR(x^2+y^2+z^2+x y z) d x d y d z, onde R=[0,1] times[0,1] times[0,1];

Passo 1

O exercício pede avaliar a integral tripla integral triplaR(x^2+y^2+z^2+xyz),dx,dy,dz sobre o cubo R=[0,1]^3. O conteúdo aqui é integração múltipla (tripla) e vamos usar a linearidade da integral (a integral de soma é soma das integrais) e a separabilidade de integrais de funções produto (se f(x,y,z)=h(x)i(y)j(z), então integral tripla f=integral hcdotintegral icdotintegral j).

Passo 2

Pela linearidade, separamos a integral em quatro partes:
integral triplaR(x^2+y^2+z^2+xyz),dV =integral triplaRx^2,dV +integral triplaRy^2,dV +integral triplaRz^2,dV +integral triplaRxyz,dV

Passo 3

Calculamos integral triplaRx^2,dV usando separação de variáveis:
integral triplaRx^2,dV =l(integral0^1x^2dxr)l(integral0^1dyr)l(integral0^1dzr) =13cdot1cdot1 =13

Passo 4

Por simetria, obtemos também
integral triplaRy^2,dV=13, integral triplaRz^2,dV=13

Passo 5

Agora, para integral triplaRxyz,dV separamos em produto de integrais unidimensionais:
integral triplaRxyz,dV =l(integral0^1x,dxr)l(integral0^1y,dyr)l(integral0^1z,dzr) =12cdot12cdot12 =18

Passo 6

Somando todas as partes:
13+13+13+18 =1+18 =98

Resposta

98

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