Uma tenda em forma de uma cúpula deve ter o chão circular com raio de 5 metros e o teto com a forma do gráfico de
. Calcule a quantidade de metros quadrados de lona para construir a tenda. (Considere que o centro da região circular é a origem do plano
)
Passo 1
O enunciado pede a área da superfície de uma cúpula dada por z=f(x,y)=7−(7/25)(x²+y²) sobre o disco x²+y²≤25. Vamos usar o cálculo de área de grafo e coordenadas polares para resolver.
Passo 2
Para achar área de superfície de z=f(x,y), usamos a fórmula:
onde D é o disco de raio 5.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=7−\frac{7}{25}(x²+y²):
Então o integrando fica:
Passo 4
Agora mudamos para coordenadas polares (x=r\cosθ, y=r\sinθ, dA=r dr dθ) sobre 0≤r≤5 e 0≤θ≤2π. Assim:
Passo 5
Para resolver
, fazemos a substituição
ou seja
. Quando r vai de 0 a 5, u vai de 1 a
.
Passo 6
Fazendo a mudança, obtemos:
Passo 7
Escrevendo
, simplificamos e chegamos à forma exata:
Em valor numérico isso dá aproximadamente
.