Uma tenda em forma de uma cúpula deve ter o chão circular com raio de 5 metros e o teto com a forma do gráfico de z=7-725(x^2+y^2). Calcule a quantidade de metros quadrados de lona para construir a tenda. (Considere que o centro da região circular é a origem do plano x y )

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície de uma cúpula dada por z=f(x,y)=7−(7/25)(x²+y²) sobre o disco x²+y²≤25. Vamos usar o cálculo de área de grafo e coordenadas polares para resolver.

Passo 2

Para achar área de superfície de z=f(x,y), usamos a fórmula:
S=integral duplaD raiz1+l(fxr)^2+l(fyr)^2,dA
onde D é o disco de raio 5.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=7−\frac{7}{25}(x²+y²):
fx=−725·2x=−14x25, fy=−14y25
Então o integrando fica:
raiz1+196x^2625+196y^2625=raiz1+196625(x^2+y^2)

Passo 4

Agora mudamos para coordenadas polares (x=r\cosθ, y=r\sinθ, dA=r dr dθ) sobre 0≤r≤5 e 0≤θ≤2π. Assim:
S=integral0^2πintegral0^5rraiz1+196625r^2,dr,dθ =2πintegral0^5rraiz1+196625r^2,dr

Passo 5

Para resolver integral rraiz1+196625r^2,dr, fazemos a substituição
u=1+196625r^2, d,u=392625r,dr
ou seja r,dr=625392du. Quando r vai de 0 a 5, u vai de 1 a 1+196625·25=22125.

Passo 6

Fazendo a mudança, obtemos:
S=2πcdot625392integral1^221/25u^1/2,du =1250π392gl[23u^3/2gr]1^221/25 =625π294l[(221/25)^3/2-1r]

Passo 7

Escrevendo (221/25)^3/2=221raiz221125, simplificamos e chegamos à forma exata:
S=5π294l(221raiz221-125r)
Em valor numérico isso dá aproximadamente 168,9,m^2.

Resposta

S=5π294l(221raiz221-125r)approx168,9,m^2

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