Resolva o problema
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que envolve uma função delta de Dirac e funções trigonométricas. O conteúdo principal aqui é Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes e vamos usar Transformada de Laplace para facilitar a resolução. Precisamos entender como aplicar a transformada nos termos da equação e depois encontrar a solução geral com as condições iniciais dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial:
Aqui, $ y’’ $ é a segunda derivada de $ y $ em relação a $ t $, $ y’ $ é a primeira derivada, e $ \delta_{\frac{\pi}{6}}(t) $ é a função delta de Dirac centrada em $ t = \frac{\pi}{6} $.
Passo 3
Vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma derivada é:
Também, a transformada da função delta deslocada é:
E para
:
Passo 4
Aplicando a transformada de Laplace na equação:
Substituindo as transformadas:
Passo 5
Como as condições iniciais são $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $, simplificamos:
Fatorando $ Y(s) $:
Passo 6
Isolando $ Y(s) $:
Passo 7
Agora, precisamos realizar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar $ y(t) $. Isso envolve decompor a fração em frações parciais e usar tabelas de transformadas. No entanto, devido à complexidade dos polinômios, é mais prático reconhecer que a solução envolve convolução devido ao termo $ e^{-\frac{\pi}{6} s} $.
Passo 8
A solução geral será a soma da solução complementar da equação homogênea $ 2 y’’ + y’ + 4 y = 0 $ e da solução particular, que é causada pelo impulso da função delta. A presença da função delta deslocada indica que haverá um impulso na solução em $ t = \frac{\pi}{6} $.
Passo 9
Após realizar os cálculos de convolução e aplicar a transformada inversa, obtemos a solução $ y(t) $ que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.
Resposta
A solução da equação diferencial dada é: