Determine as integrais utilizando a técnica de frações parciais:
integral 9 x^2-28 x+12x^3-5 x^2+6 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral 9x^2 - 28x + 12x^3 - 5x^2 + 6x ,dx usando frações parciais. O conteúdo aqui é integração de funções racionais e vamos precisar fatorar o denominador e decompor em termos simples para integrar.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador:
x^3 - 5x^2 + 6x = x,(x^2 -5x +6) = x,(x-2),(x-3)

Passo 3

Em seguida, propomos a decomposição em frações parciais:
9x^2 - 28x + 12x(x-2)(x-3) = Ax + Bx-2 + Cx-3

Passo 4

Para encontrar A,B,C, escrevemos a identidade
9x^2 - 28x + 12 = A(x-2)(x-3) + B,x(x-3) + C,x(x-2)

Passo 5

Expandindo e igualando coeficientes, obtemos o sistema:
A + B + C = 9, -5A -3B -2C = -28, 6A = 12

Passo 6

Da terceira equação vem A=2. Substituindo nas duas primeiras, achamos B=4 e C=3. Logo, a integral fica
integrall(2x + 4x-2 + 3x-3r)dx

Passo 7

Agora integramos termo a termo, usando integral 1/(x-a)dx = ln|x-a| + C.

Resposta

2\ln|x| + 4\ln|x-2| + 3\ln|x-3| + C

Exercícios relacionados