Determine as integrais utilizando a técnica de frações parciais:
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral . O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais, já que o denominador é um polinômio que podemos fatorar e escrever como soma de termos simples.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador:
Passo 3
Em seguida, montamos a decomposição em frações parciais:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por e comparando coeficientes obtemos:
Passo 5
Expandindo e agrupando termos em potências de :
Passo 6
Igualando aos coeficientes de dá o sistema:
Passo 7
Da última equação já vemos que A=1. Substituindo em A+B=4 vem B=3. E em -2A -B +C = -9 achamos C=-4. Assim a integral vira:
integral l(1x + 3x-1 - 4(x-1)^2r)dx
Passo 8
Agora integramos termo a termo:
integral 1xdx = ln|x|, integral 3x-1dx = 3ln|x-1|, integral -4(x-1)^2dx = -4 integral (x-1)^-2dx = 4,(x-1)^-1 = 4x-1