Determine as integrais utilizando a técnica de frações parciais:
integral 4 x^2-9 x+1x^3-2 x^2+x d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral integral 4x^2-9x+1x^3-2x^2+x,dx. O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais, já que o denominador é um polinômio que podemos fatorar e escrever como soma de termos simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador:
x^3-2x^2+x = x,(x^2-2x+1) = x,(x-1)^2

Passo 3

Em seguida, montamos a decomposição em frações parciais:
4x^2-9x+1x,(x-1)^2 = Ax + Bx-1 + C(x-1)^2

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por x,(x-1)^2 e comparando coeficientes obtemos:
4x^2-9x+1 = A(x-1)^2 + B,x(x-1) + C,x

Passo 5

Expandindo e agrupando termos em potências de x:
A(x^2-2x+1) + B(x^2-x) + Cx = (A+B)x^2 +(-2A -B +C)x + A

Passo 6

Igualando aos coeficientes de 4x^2-9x+1 dá o sistema:
A+B = 4, -2A -B +C = -9, A = 1

Passo 7

Da última equação já vemos que A=1. Substituindo em A+B=4 vem B=3. E em -2A -B +C = -9 achamos C=-4. Assim a integral vira:
integral l(1x + 3x-1 - 4(x-1)^2r)dx

Passo 8

Agora integramos termo a termo:
integral 1xdx = ln|x|, integral 3x-1dx = 3ln|x-1|, integral -4(x-1)^2dx = -4 integral (x-1)^-2dx = 4,(x-1)^-1 = 4x-1

Resposta

ln|x| + 3ln|x-1| + 4x-1 + C

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