Determine o volume do sólido gerado pela rotação das funções abaixo em torno do eixo indicado.
; em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que forma quando giramos a curva
, junto com as retas
e
, em torno do eixo
. Para isso, vamos usar um método de cálculo de volumes conhecido como Método dos Cascarões Cilíndricos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa girar a área delimitada pelas funções ao redor do eixo
. Imagine a curva
entre
e
. Quando giramos isso ao redor do eixo
, formamos um sólido de revolução.
Passo 3
Para calcular o volume desse sólido, usamos o Método dos Cascarões Cilíndricos. Esse método é útil quando o sólido é gerado pela rotação de uma região ao redor de um dos eixos. A fórmula geral para o volume
é:
Aqui,
é a função que define a curva,
é a distância do elemento de área ao eixo de rotação, e
e
são os limites de integração.
Passo 4
No nosso caso, a função é
, e os limites são de
a
. Substituindo na fórmula, temos:
Simplificando a expressão dentro do integral:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de
. A integral de
é
, onde
é a constante de integração. Aplicando isso:
Então, o volume fica:
Passo 6
Vamos avaliar a expressão de
e
:
Para
:
Para
:
Subtraindo as duas avaliações:
Multiplicando por
:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.