Determine o volume do sólido gerado pela rotação das funções abaixo em torno do eixo indicado.
y=x^2 x=0, x=2; em torno do eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que forma quando giramos a curva , junto com as retas e , em torno do eixo . Para isso, vamos usar um método de cálculo de volumes conhecido como Método dos Cascarões Cilíndricos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa girar a área delimitada pelas funções ao redor do eixo . Imagine a curva entre e . Quando giramos isso ao redor do eixo , formamos um sólido de revolução.

Passo 3

Para calcular o volume desse sólido, usamos o Método dos Cascarões Cilíndricos. Esse método é útil quando o sólido é gerado pela rotação de uma região ao redor de um dos eixos. A fórmula geral para o volume V = 2pi integrala^b x cdot f(x) , dx é:
Aqui, é a função que define a curva, é a distância do elemento de área ao eixo de rotação, e e são os limites de integração.

Passo 4

No nosso caso, a função é V = 2pi integral0^2 x cdot x^2 , dx , e os limites são de V = 2pi integral0^2 x^3 , dx a . Substituindo na fórmula, temos:
Simplificando a expressão dentro do integral:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de integral x^3 , dx = x^44 + C . A integral de V = 2pi [ x^44 ]0^2 é , onde é a constante de integração. Aplicando isso:
Então, o volume fica:

Passo 6

Vamos avaliar a expressão de 2^44 = 164 = 4 e 0^44 = 0 :
Para 4 - 0 = 4 :
V = 2pi times 4 = 8pi
Para :
Subtraindo as duas avaliações:
Multiplicando por :

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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