Determine as integrais utilizando a técnica de frações parciais:
integral 1(x-2)(x^2+x+4) d x

Passo 1

O exercício pede para calcular integral 1(x-2)(x^2+x+4),dx. Isso é integração de função racional usando frações parciais.

Passo 2

Começamos escrevendo a fração como soma de partes simples:
1(x-2)(x^2+x+4) = Ax-2 + Bx+Cx^2+x+4
Multiplicando ambos os lados por (x-2)(x^2+x+4) e igualando coeficientes de potências de x obtemos o sistema
A + B = 0, A + C -2B = 0, 4A -2C = 1
Resolvendo, achamos A=tfrac110, B=-tfrac110, C=-tfrac310.

Passo 3

Substituindo esses valores, a integral se separa em
integral 1(x-2)(x^2+x+4),dx = 110integral1x-2,dx - 110integral x+3x^2+x+4,dx

Passo 4

Para o segundo integral, decompomos o numerador de modo a usar ln e arctan. Note que
x+3 = 12(2x+1) + 52
Então
integral x+3x^2+x+4,dx = 12integral 2x+1x^2+x+4,dx + 52integral 1x^2+x+4,dx
A primeira parte dá tfrac12ln(x^2+x+4). Para a segunda completamos o quadrado:
x^2+x+4 = (x+tfrac12)^2 + tfrac154,
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integral 1x^2+x+4,dx = integral 1(x+tfrac12)^2 + (tfracraiz152)^2,dx = 2raiz15arctanl(2x+1raiz15r)

Passo 5

Reunindo tudo e distribuindo o -tfrac110), obtemos
integral 1(x-2)(x^2+x+4),dx = 110ln|x-2| - 120ln(x^2+x+4) - 12raiz15arctanl(2x+1raiz15r) + C

Resposta

110ln|x-2| - 120ln(x^2+x+4) - 12raiz15arctanl(2x+1raiz15r) + C

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