Determine as integrais utilizando a técnica de frações parciais:
integral 3 x-1x(x-1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral 3x-1x(x-1)^2,dx usando frações parciais. Vamos decompor a função racional e depois integrar cada parte.

Passo 2

Suponha que 3x-1x(x-1)^2 = Ax + Bx-1 + C(x-1)^2. Multiplicando ambos os lados por x(x-1)^2 obtemos a identidade: 3x-1 = A(x-1)^2 + Bx(x-1) + Cx Expandindo e coletando termos em potências de x temos: 3x-1 = (A+B)x^2 + (-2A - B + C)x + A Comparando coeficientes com 0x^2 + 3x - 1 dá o sistema: A + B = 0, -2A - B + C = 3, A = -1

Passo 3

Da equação A = -1 vem B = -A = 1. Substituindo em -2A - B + C = 3 temos 2 - 1 + C = 3, logo C = 2.

Passo 4

Com os valores A=-1, B=1, C=2 escrevemos a integral como integrall(-1x + 1x-1 + 2(x-1)^2r),dx Integramos cada termo separadamente: integral -1x,dx = -ln|x|, integral 1x-1,dx = ln|x-1|, integral 2(x-1)^2,dx = -2x-1

Passo 5

Juntando tudo e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva desejada.

Resposta

ln|x-1| - ln|x| - tfrac2x-1 + C

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