Mostre que a função f(x)=x^2-cos x satisfaz f(x)=0 para exatamente dois números x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a função $ f(x) = x^{2} - \cos x $ tem exatamente dois valores de $ x $ que fazem $ f(x) = 0 $. Estamos lidando com funções contínuas e análise de raízes aqui. Para resolver, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ f(x) = 0 $. Temos:
f(x) = 0
Estamos procurando os pontos onde o quadrado de $ x $ é igual ao cosseno de $ x $.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento das duas funções $ y = x^{2} $ e $ y = \cos x $ graficamente.
  • $ y = x^{2} $: Uma parábola que abre para cima, passando pela origem.
  • $ y = \cos x $: Uma função periódica que oscila entre -1 e 1.
Observando os gráficos, vemos que a parábola e o cosseno podem se encontrar em dois pontos distintos.

Passo 4

Vamos examinar o comportamento de $ f(x) = x^{2} - \cos x $ em diferentes intervalos de $ x $:
  • Quando $ x = 0 $:
f(x) = x^2 - cos x
  • Quando $ x = 1 $:
x
Isso indica que há pelo menos uma raiz entre $ 0 $ e $ 1 $ pelo Teorema do Valor Intermediário, já que $ f $ muda de negativo para positivo.

Passo 5

Agora, vamos olhar para $ x $ negativos:
  • Quando $ x = -1 $:
x
  • Quando $ x = -2 $:
x = -1
Note que $ f(x) > 0 $ para $ x = -1 $ e $ x = -2 $, então precisamos verificar entre $ -1 $ e $ 0 $.
  • Quando $ x = -0.5 $:
f(-1) = (-1)^2 - cos(-1) = 1 - cos(1) approx 0.4597 > 0
Então, temos uma mudança de sinal entre $ x = -1 $ e $ x = -0.5 $, indicando outra raiz nesse intervalo.

Passo 6

Para garantir que existam apenas duas raízes, vamos analisar a derivada de $ f(x) $:
f(x)
Vamos verificar se há pontos onde $ f’(x) = 0 $:
f'(x) = 2x + sin x
Essa equação não tem soluções reais além dos pontos já considerados, o que indica que a função $ f(x) $ tem apenas um ponto de mínimo ou máximo, confirmando que as curvas se cruzam apenas duas vezes.

Resposta

Portanto, a função $ f(x) = x^{2} - \cos x $ satisfaz $ f(x) = 0 $ para exatamente dois números reais de $ x $.

Exercícios relacionados