Determine as integrais utilizando a técnica de frações parciais:
integral 6 x^2+22 x+18(x+1)(x+2)(x+3) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma função racional por frações parciais: integrar integral 6x^2+22x+18(x+1)(x+2)(x+3),dx. O conteúdo envolve decompor a fração em termos simples e depois integrar.

Passo 2

Precisamos escrever 6x^2+22x+18(x+1)(x+2)(x+3) como soma de frações mais simples:
6x^2+22x+18(x+1)(x+2)(x+3)=Ax+1+Bx+2+Cx+3 Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x+2)(x+3) obtemos a identidade
6x^2+22x+18=A(x+2)(x+3)+B(x+1)(x+3)+C(x+1)(x+2)

Passo 3

Para achar A,B,C, podemos usar raízes simples:
  • Em x=-1: 6(-1)^2+22(-1)+18=2= Acdot1cdot2=2A A=1.
  • Em x=-2: 6cdot4+22(-2)+18=-2= Bcdot(-1)cdot1=-B B=2.
  • Em x=-3: 6cdot9+22(-3)+18=6= Ccdot(-2)cdot(-1)=2C C=3.

Passo 4

Agora a integral fica
integral6x^2+22x+18(x+1)(x+2)(x+3),dx=integrall(1x+1+2x+2+3x+3r),dx Integramos termo a termo usando integral1x+a,dx=ln|x+a|+C:
- integral1x+1,dx=ln|x+1|.
- integral2x+2,dx=2ln|x+2|.
- integral3x+3,dx=3ln|x+3|.

Resposta

ln|x+1|+2ln|x+2|+3ln|x+3|+C

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