Determine o volume do sólido gerado pela rotação das funções abaixo em torno do eixo indicado.
y=x^2, x=y-2, em torno de x .

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado ao girar em torno do eixo x a região limitada por y=x^2 e x=y-2. Isso envolve o método dos discos (ou “washer”), em que cada fatia perpendicular ao eixo x tem área A(x)=pil[R(x)^2 - r(x)^2r]. Vamos precisar: encontrar os pontos de interseção para os limites de integração, expressar as curvas como y=f(x), identificar raio externo e interno, montar e calcular a integral.

Passo 2

Para achar os limites de integração, igualamos as curvas: y=x^2 e x=y-2, ou seja x = x^2 -2. Isso dá x^2 - x -2 =0, com raízes x=-1 e x=2. A linha x=y-2 reescrita é y=x+2. Portanto a região vai de x=-1 até x=2, e em cada x temos yinf=x^2 e ysup=x+2.

Passo 3

Como giramos em torno do eixo x, em cada x o raio externo da fatia é R(x)=ysup=x+2 e o raio interno é r(x)=yinf=x^2. Assim o volume é
V = pi integral-1^2 l[(x+2)^2 - (x^2)^2r] ,dx

Passo 4

Vamos calcular a integral. Primeiro expandimos o integrando:
(x+2)^2 - (x^2)^2 = x^2 +4x +4 - x^4

Passo 5

Então
V = pi integral-1^2 l(-x^4 + x^2 +4x +4r) ,dx

Passo 6

A primitiva de -x^4 + x^2 +4x +4 é
-x^55 + x^33 +2x^2 +4x

Passo 7

Agora avaliamos de x=-1 a x=2:
Em x=2:
-2^55 + 2^33 +2cdot2^2 +4cdot2 = -325 + 83 +8 +8 = 18415

Passo 8

Em x=-1:
-(-1)^55 + (-1)^33 +2cdot(-1)^2 +4cdot(-1) = 15 - 13 +2 -4 = -3215

Passo 9

A diferença é

Passo 10

Multiplicando por pi, chega-se ao resultado final.

Resposta

V = 72pi5

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