Determine o volume do sólido gerado pela rotação das funções abaixo em torno do eixo indicado.
em torno de x .
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido gerado ao girar em torno do eixo x a região limitada por
e
. Isso envolve o método dos discos (ou “washer”), em que cada fatia perpendicular ao eixo x tem área
. Vamos precisar: encontrar os pontos de interseção para os limites de integração, expressar as curvas como
, identificar raio externo e interno, montar e calcular a integral.
Passo 2
Para achar os limites de integração, igualamos as curvas:
e
, ou seja
. Isso dá
, com raízes
e
. A linha
reescrita é
. Portanto a região vai de
até
, e em cada
temos
e
.
Passo 3
Como giramos em torno do eixo x, em cada
o raio externo da fatia é
e o raio interno é
. Assim o volume é
Passo 4
Vamos calcular a integral. Primeiro expandimos o integrando:
Passo 5
Então
Passo 6
A primitiva de
é
Passo 7
Agora avaliamos de
a
:
Em :
Em
Passo 8
Em
:
Passo 9
A diferença é
Passo 10
Multiplicando por
, chega-se ao resultado final.