Determine as integrais utilizando a técnica de frações parciais:
integral x+1x^2-4 x+3 d x

Passo 1

O exercício pede para calcular integral x+1x^2 - 4x + 3,dx. O conteúdo envolvido é integração por frações parciais, então vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes simples.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)
Em seguida, escrevemos a decomposição em frações parciais:
x+1(x-1)(x-3) = Ax-1 + Bx-3

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x-3), temos
x+1 = A(x-3) + B(x-1)
Expandindo e comparando coeficientes:
A + B = 1 (coeficiente de x) e -3A - B = 1 (termo constante). Resolvendo o sistema, obtemos A = -1 e B = 2.

Passo 4

Substituímos na integral e integramos cada termo simples:
integral x+1x^2-4x+3,dx = integrall(-1x-1 + 2x-3r),dx
Integrando separadamente:
-integral 1x-1,dx = -lnlvert x-1rvert, 2integral 1x-3,dx = 2lnlvert x-3rvert
Somando os resultados e incluindo a constante de integração.

Resposta

(-\ln\lvert x-1\rvert + 2\ln\lvert x-3\rvert + C)

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